Limite

Euh pour $t=-3$ le numérateur s'annule, tu as du te tromper dans tes calculs.
Ainsi $\displaystyle t^3+t^2-6t$ peut se factoriser par $t+3$ (en plus de lafactorisation évidente par $t$).
On a : $\displaystyle t^3+t^2-6t=t(t+3)(t-2)$.
Or : $\displaystyle t^2-9=(t+3)(t-3)$, d'où une simplification par $t-3$ dans ta fraction de départ.

On a : $\displaystyle \frac{t^3+2t^2-6t}{t^2-9}=\frac{t(t-2)}{t-3} \longrightarrow_{x \rightarrow -3} \frac{-3(-3-2)}{-3-3}=\frac{-5}{2}$.

Pour ce qui est de l'asymptote (tu as employé le mot tangente à tort ici), c'est normal, puisqu'on vient de montrer que la fonction ne diverge pas en $-3$, alors qu'elle diverge en $+3$ (c'est ce que tu as du trouver).