Equation fonctionnelle

Bidou · May 2006

Bonjour,
je vous soumets le problème suivant:

Chercher les focntions continues $f$ et $g$ telles que $g$ soit paire et vérifiant:
$g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)$
$f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)$

Je pense qu'il faut essayer de se ramener à l'équation fonctionelle classique $ u(x+y)=u(x)u(y)$, mais je n'y arrive pas.
J'ai essayé en considérant $h=f+g$ et $k=f-g$ mais je n'arrive pas à conclure (et d'après une copine, c'est bien ça mon gros problème ;-))

En vous remerciant d'y jeter un oeil....
Bidou.

Merci,

Bidou.

Aleg · May 2006

bidou,
le problème posé incite à chercher du côté des fcts hyperboliques $\sinh x$ et $\cosh x$, donc ton intuition est la bonne et ta méthode marche parfaitement : par exemple, avec tes notations, tu peux vérifier qu'on a bien
$$h(x+y)=h(x)h(y)$$.

Peut-être ton problème est-il que tu cherches à conclure trop vite....?

GPP29 · May 2006

Bonjour

Tout simplement (où bien je suis passé à côté du problème?), il suffit de poser h=g+f , de développer le produit h(x)h(y), puis d'appliquer les relations fonctionnelles que doivent vérifier g et f.

Il vient
h(x)h(y) = (g(x)+f(x))(g(y)+f(y)) = g(x)g(y)+g(x)f(y)+f(x)g(y)+f(x)f(y)
= g(x+y)+f(x+y) = h(x+y)

Par ailleurs, en considérant les valeurs x et y = 0, il vient g(0)= 1 et f(0) = 0

Bidou · May 2006

En fait, à partir de ta relation, je sais conclure sur $h$... Simplement, je souhaite retrouver explicitement $f$ et $g$.
De plus, on n'utilise pour l'instant pas que $g$ est paire?
Notez que ce problème est censée être une application de la leçon 80 du CAPES "Caractérisation des foncitons exponentielles par l'equation foncitonnelle $f(x+y)=f(x)f(y)$".

Merci de votre aide!

Merci,

Bidou.

GPP29 · May 2006

Bonjour,
Pour Bidou
Pour terminer, il suffit de décomposer h en la somme de ses parties symétrique g et antisymétrique f
g(x) = (h(x)+h(-x))/2
f(x) = (h(x)-h(-x))/2

Equation fonctionnelle

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