Série de fonctions et dérivation

Astrim · May 2006

bonjour, j'aurais une question niveau 2e année de prépa.

Dans un exercice, j'ai :

$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} sh(a^n*x) $ pour $ a \in ]0,1[ $

f est bien défénie car il y a convergence normale mais on me demande de montrer qu'elle est $ C^{\infty} $ sur $\R$

Pour cela, je pensais montrer qu'elle était développable en série entière sur $\R$, mais c'est la question d'après, donc je ne vois pas comment prouver cette propriété sans utiliser le fait qu'elle soit développable en série entière.

Existe il un théorème reliant la convergence normale et le fait d'être $ C^{\infty} $ ?

Merci

Aleg · May 2006

bonjour Astrim,
n'aurais-tu pas dans ton cours un théorème sur la dérivation d'une série d'applications (pas seulement une série entière) qui te permettrait d'avancer ?

Astrim · May 2006

le seul énoncé de théorème que j'ai sur la dérivation d'une série de fonction en présence de convergence normale ne s'apllique que lorsque l'intervalle est borné.
Voilà mon théorème :

Soit $\sum u_n$ une série de fonctions $C^1$ sur $I$ intervalle borné telle que $\forall n, {u'}_n$ est bornée.
On suppose aussi que $\sum {u'}_n$ converge normalement et que $\sum u_n(x_0)$ converge absolument.

Alors $\sum u_n$ converge normalement vers $s=\sum_{n=0}^{\infty}u_n$ et s est $C^1$ avec ${s'}=\sum_{n=0}^{\infty}{u'}_n$

On ne peut donc pas appliquer ce théorème avec $\R$ comme intervalle. Ou alors, j'ai un autre théorème que je n'ai pas vu...

Hugo_ · May 2006

Je profite de cette interrogation pour poser une question: si on répond à la question, sur {\bf tout intervalle de $\R$ }, c'est correct ou pas ?

En principe continuité et dérivabilité passent à l'union.

Aleg · May 2006

Hugo,
la continuité et la dérivabilité étant des notions locales, si on la montre sur tout intervalle compact de $\R$ alors on l'a montré sur $\R$

par ailleurs, pour Astrim, le théorème suivant n'est-il plus au programme ?

soit $\Sigma f_n$ une série d'applications dérivables sur l'intervalle $I$ (borné ou non), telle que la série des dérivées $\Sigma f_n^{\prime }$ converge uniformément sur $I$. S'il existe $x_0\in I$ tel que la série numérique $\Sigma f_n(x_0)$ soit convergente, alors
la série $\Sigma f_n$ est simplement convergente vers une application $f$ (cette convergence étant de plus uniforme sur toute partie bornée de $I$), dérivable sur $I$ et
$$f^{\prime }(x)=\sum_{n=0}^{+\infty }\,f_n^{\prime }(x)$$.

Aleg · May 2006

en fait, Astrim, ton théorème est suffisant : il suffit de l'appliquer sur tout $[a;b]$.

Astrim · May 2006

Merci Aleg pour ces précisions.

Sinon, la convergence uniforme a disparue du programme de PC et dans la majorité des cas, il faut utiliser la convergence normale.

Aleg · May 2006

OK, merci de cette info, je ne savais pas.

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