Intégrale / suite

Romin0 · May 2006

Bonjour !

Je sais pas trop à quoi corresponde les niveaux "Master2", je suis en spé, je ne sais pas si ça coïncide.
J'ai un petit doute sur un exo d'analyse donc :

Soit In l'intégrale de (x^n)*tan(x) entre 0 et 1. Je dois trouver la limite de In. Je pense alors au théorème de convergence dominée, mais l'outil est presque trop puissant car on intégre ici sur un segment, non ?

Bref, si fn(x)=(x^n)*tan(x), alors on majore fn par tan(x) étant donné l'intervalle dans lequel varie x. Et tan(x) est intégrable sur [0,1[, donc c'est bon, la limite de In est 0.

N'y a-t-il pas une autre méthode ? Merci beaucoup

Aleg · May 2006

romin,
autre autre solution, plus élémentaire:
pour $x\in [0;1]$, on a $0\leq \tan x \leq \tan 1$ donc
$$0\leq \int_0^1\, x^n\tan x\,dx \leq \frac{\tan 1}{n+1}$$
(nb : la simplicité de l'exo me paraît suspecte...)

Yama · May 2006

A priori je dirai que le théorème de la moyenne suffit.

0<tanx<2 sur [0;1] et donc 0<In<2/n.

Sinon, le niveau spé ça correspond à L2.

Romin0 · May 2006

Ok, merci beaucoup.
Aleg : l'exo n'est pas terminé, il faut maintenant trouver un équivalent de In en + l'infini. La encore je bloque : je pense qu'il faut d'abord déterminer un équivalent de x^n en plus l'infini plus multiplié par tan(x), mais je ne peux pas intégrer un équivalent... Comment faire ? Merci

Hugo_ · May 2006

L'équivalent de $x^n$ en l'infini c'est lui-même, ici l'équivalent se trouve en encadrant $I_n$, les posts ci-dessus donne une majoration, à toi de trouver une minoration, en minorant $tan x$, par quelque chose de simple (qui te donne une intégrale évidente).

Aleg · May 2006

Voilà Romin, Hugo viens de te donner la réponse.
Pour l'instant, ce n'est toujours pas un exo de Spé... mais peut-être l'histoire a-t-elle une suite plus méchante... ?

med · May 2006

Salut,

J'ai pensé à un rappel (voir dessous)

cordialement
med 4500

matematibo · May 2006

Et sinon, personne n'aime les intégrations par parties ?

Aleg · May 2006

c'est pas qu'on n'aime pas, matematibo, mais ça fait beaucoup de travail pour pas grand-chose.

bmxer1 · May 2006

A l'aide d'une IPP :
$\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}x^n tanx dx=\left[tanx \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}(1+tan^2x)x^{n+1} dx=\frac{\frac{\pi}{4}}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}(1+tan^2x)x^{n+1} dx$.

Or : $\displaystyle \int_{0}^{1}(1+tan^2x)x^{n+1} dx \leq \frac{1+(\frac{\pi}{4})^2}{n+2}$, d'où : $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}(1+tan^2x)x^{n+1} dx =0$.

Ainsi : $\displaystyle \frac{n+1}{\frac{\pi}{4}}I_n=1-\frac{4}{\pi}\int_{0}^{1}(1+tan^2x)x^{n+1} dx \longrightarrow_{n \rightarrow +\infty}1$.

Finalement : $\displaystyle I_n \sim_{+\infty} \frac{\frac{\pi}{4}}{n+1} \sim_{+\infty} \frac{\pi}{4n}$.

Hugo_ pourrais-tu préciser la minoration dont tu parles?

Romin0 · May 2006

Aleg : cet exo sort d'une planche de centrale...Il n'est pas très technique avec le recul mais il ne me parait pas non plus trivial. Enfin je suis assez mauvais et ça doit pas mal jouer, mais le coup des équivalents c'est tjs chiant pour nous pauvres petits taupins, enfin pour ceux que je connais. De tête In est donc équivalent à 1/n en plus l'infini ?

Hugo_ · May 2006

$tan x \geq x$ entre 0 et pi/2 donc pas de problèmes entre 0 et 1.

bmxer1 · May 2006

Oui mais $\displaystyle tanx \geq x$ permet d'obtenir : $\displaystyle I_n \geq \int_{0}^{1}x^{n+1}dx=\frac{1}{n+2}$. Et donc en utilisant la première inégalité donnée par Aleg, on obtient : $\displaystyle \frac{1}{n+2} \leq I_n \leq \frac{\frac{\pi}{4}}{n+1}$.

On ne peut donc pas conclure sur l'équivalent comme tu le disais (sauf erreur).

Romin, $I_n$ n'est pas équivalent à $\frac{1}{n}$ puisque je viens de montrer 2 posts plus haut que $I_n$ est équivalent à $\frac{\pi}{4n}$.

Alain Debreil · May 2006

Bonjour Bmxer

Je ne vois pas d'où tu tires ton $\frac{\pi}{4}$
Je n'ose croire qu'il vient de $\tan(1)$ ?

Alain

Hugo_ · May 2006

Exact, il y a confusion entre $tan$ et $Arctan$.
Et moi je me suis aussi planté, l'encadrement ne donne pas l'équivalent, MAIS, je pense qu'on peut développer $tan x$ avec Taylor-intégral (l'intégrale étant positive, on a une minoration de $tan x$ ), entre 1 et x, de façon à avoir le fameux "$tan 1$" des 2 cotés de l'encadrement, pour déduire l'équivalent.

bmxer1 · May 2006

Effectivement autant pour moi, tous mes $\frac{\pi}{4}$ doivent allègrement etre remplacés par des $tan(1)$.
Heureusement, cela ne remet pas en cause la méthode utilisant l'intégration par parties, et on obtient tout de meme : $I_n \sim_{+\infty} \frac{tan(1)}{n}$.

Merci Alain.

Aleg · May 2006

je crois me souvenir qu'il y a quelques semaines sur ce forum on a montré le résultat suivant :
si $f$ est continue en $1$ et si les applications $f_n$ définies par $f_n(x)=x^n\,f(x)$ ($n\in \N$) sont intégrables sur $[0;1]$, alors
$$n\,\int_0^1\,f_n(x)\,dx\rightarrow f(1)$$
quand $n$ tend vers $+\infty $.
On retrouve donc directement l'équivalent de bmxer ci-dessus.
(Pour la preuve du résultat général ci-dessus, elle se fait essentiellement avec des $\varepsilon, \delta $ à partir de la continuité en $1$ : faire une recherche pour retrouver le topic dont je parle).

Aleg · May 2006

le sujet dont je parle est ici :
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=253263&t=253226#reply_253263"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=253263&t=253226#reply_253263</a>
<BR>on y trouve une démonstration par ipp pour les fcts de classe C-1 (due à Yalcin) et une autre démonstration plus générale à partir de la continuité en 1.<BR>

bmxer1 · May 2006

Merci pour le lien Aleg.

Intégrale / suite

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 36