bac 1983 sur les suites

Bati · May 2006

Bonsoir,

J'aimerais savoir comment vs procéderiez pour traiter cette 1e question d'un vieux sujet de bac. La voici :

Soit $(u_n)$ la suite définie par la donnée de $u_0$ et, pour tt $n$ de $\N$, par la relation de récurrence $u_{n+1}=\sqrt{\frac{1-u_n}{2}}$.

Montrer que $(u_n)$ existe ssi $u_0 \in [-1;1]$.

Je pensais montrer les deux implications. Pour celle ds le sens direct, procéder par contraposée en montrant que si $u_0 \not\in [-1;1]$ alors $(u_n)$ n'existe pas, et faire une récurrence pour l'implication réciproque.

Qu'en pensez-vous ?

Merci

JPB2 · May 2006

bonsoir,

en étudiant la fonction f associée à cette suite récurrente on voit que

f ( [-1, 1] = [0, 1] et que si x<-1 f(x)> 1 . Amicalement

Richard André-Jeannin · May 2006

Le problème est mal posé (ou mal recopié): u(1) existe si u(0)<=1.

GPP29 · May 2006

Bonsoir,
Pour RAJ
Pour que u_n existe lorsque n>1, il faut bien que u_0>= - 1

Roro · May 2006

Rq : j'avais pas vu la réponse plus haut mais je poste quand meme afin de na pas avoir taper tout ca pour rien

La question n'est pas extremement précise : on ne sait pas si la suite peut prendre des valeurs complexes (mais implicitement on comprend que ce n'est pas le cas sinon il n'y a pas de probleme d'exixtence de la suite), et on ne dit pas non-plus pour quelles valeurs de $n$ $u_{n}$ est censé ne pas exister ($u_{0}$ par exemple lui existe bien...)

mais si on ne se casse pas trop le tete ca parait facile

en effet supposons $u_{0}>1$ alors $\sqrt{\frac{1-u_{0}}{2}}0$ et "$u_{n} n'existe pas"

de même si $u_{0}1$ et les termes de la suite ne sont pas bien définit pour $n>1$

enfin en remarquent que l'image de $[-1;1]$ par $\sqrt{\frac{1-x}{2}}$ est inclue dans $[-1;1]$ on déduit que $(u_{n})$ est bien définie si $u_{0}\in [-1;1]$

Alain Debreil · May 2006

Remarque : j'avais pas vu la réponse plus haut mais je poste quand même afin de ne pas avoir taper tout ça pour rien

La question n'est pas extrêmement précise : on ne sait pas si la suite peut prendre des valeurs complexes (mais implicitement on comprend que ce n'est pas le cas sinon il n'y a pas de problème d'existence de la suite), et on ne dit pas non-plus pour quelles valeurs de $n,\ u_{n}$ est censé ne pas exister ($u_{0}$ par exemple lui existe bien...)

Mais si on ne se casse pas trop le tête, ça parait facile.
En effet supposons $u_{0}>1$ alors $\sqrt{\frac{1-u_{0}}{2}} 0$ et "$u_{n}$ n'existe pas"

De même si $u_{0}1$ et les termes de la suite ne sont pas bien définis pour $n>1$

enfin en remarquant que l'image de $[-1;1]$ par $\sqrt{\frac{1-x}{2}}$ est inclue dans $[-1;1]$ on déduit que $(u_{n})$ est bien définie si $u_{0}\in [-1;1]$

Yalcin · May 2006

Bonjour

U_(n+1) existe ssi (1-U_n)>=0 , donc ssi U_n<=1

donc U_1 existe ssi U_0<=1 et U_2 existe ssi U_1<=1

Donc U_2 existe ssi rac((1-U_0)/2)<=1 , or on a : 0<=rac((1-U_0)/2)<=1

Et (1-U_0)/2>=0 , donc 0<=(1-U_0)/2<=1 , donc 0<=1-U_0<=2

Donc U_0 est dans [-1;1]

Finalement on a : U_(n+1) existe ssi U_n<=1 et U_1 existe ssi U_0 est dans [-1;1] et on a U_n appartient à [-1;1].

On déduit que U_n existe ssi U_0 est dans [-1;1].

Voilà

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