Etude suite et fonction
Bonjour,
en cette période de concours, j'aimerais faire appel à votre aide pour résoudre au mieux un exercice le voici:
Soit f définie par f(x)=exp(1/ lnx )
1) Etude et allure de f
2) Montrer que fof existe et calculer fof(x)
3) Soit u la suite définie sur N par u(0)=x et pour tout n de N u(n+1)=f(un)
(i) Pour quel x u est-elle définie sur N entier ?
(ii) Etudier le comportement de la suite u
==> 1) J'ai fait l'étude, on se place sur une union d'intervalles ]0,11,+inf[
On a une fonction décroissante sur ]0,1[, mais aussi sur ]1,+inf[ avec une limite égale à 1 en +inf.
2) Pour ce qui est de fof, il s'agit des ensemble de définitions, ensemble de départ d'arrivée etc
là je n'arrive pas à rédiger vraiment "proprement"
3) (i) elle est définie pour tout x de Df
(ii) Je ne vois pas trop comment faire, on doit visiblement partir de l'étude de fonction ...
Merci de toute aide qui pourra m'être apportée
Cordialement
polux
en cette période de concours, j'aimerais faire appel à votre aide pour résoudre au mieux un exercice le voici:
Soit f définie par f(x)=exp(1/ lnx )
1) Etude et allure de f
2) Montrer que fof existe et calculer fof(x)
3) Soit u la suite définie sur N par u(0)=x et pour tout n de N u(n+1)=f(un)
(i) Pour quel x u est-elle définie sur N entier ?
(ii) Etudier le comportement de la suite u
==> 1) J'ai fait l'étude, on se place sur une union d'intervalles ]0,11,+inf[
On a une fonction décroissante sur ]0,1[, mais aussi sur ]1,+inf[ avec une limite égale à 1 en +inf.
2) Pour ce qui est de fof, il s'agit des ensemble de définitions, ensemble de départ d'arrivée etc
là je n'arrive pas à rédiger vraiment "proprement"
3) (i) elle est définie pour tout x de Df
(ii) Je ne vois pas trop comment faire, on doit visiblement partir de l'étude de fonction ...
Merci de toute aide qui pourra m'être apportée
Cordialement
polux
Réponses
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bonjour
si tu poses y=f(x) (avec x > 0) en passant aux logarithmes népériens tu obtiens:
lny.lnx=1 et donc le graphe est symétrique par rapport à la première bissectrice qui coupe la courbe pour x=e et x=1/e
d'autre part la dérivée f'(x)=(-1/xln²x).exp(1/lnx) est toujours négative
f est donc monotone décroissante et le graphe admet deux asymptotes: y=1 et x=1 ; pour x=0 la valeur de f est égale à 1
la suite u(n)=f[u(n-1)] est apparemment convergente
vers e si x > 1 et vers 1/e si 0 < x < 1 (graphe en toile d'araignée)
cordialement -
Merci beaucoup.
J'aimerais en savoir plus sur les méthodes permettant d'étudier la suite.
D'autre part je ne comprends comment on déduit la symétrie en passant par le ln.
Merci de votre aide -
Il est évident que $f\circ f(x)=x$, la suite est donc périodique...
-
C'est ça le M2++?
-
Non ca c'est une erreur de manip' ;-)
[Niveau corrigé. AD] -
Non ca c'est une erreur de manip' ;-)
Mea culpa, je n'ai pas fait attention ... enfin bon je suis quand même en math "sup" :-))
Pour ce qui est de l'étude de cette suite, il est vrai que j'ai du mal à voir tous les liens périodicité etc ... Celle ci est assez atypique ( à mon niveau)
Cordialement,
polux
[Niveau corrigé. AD]
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