Borne sup sur union finie, infinie...

Tertiath
Tertiath
dans Analyse
Bonjour à tous,

cela fait longtemps que je me pose des questions sur la borne supérieure...

1) A-t-on $\displaystyle \sup_{ \cup_{i=1}^n D_i }\{ f(x)\}=max_{i=1,..,n}\sup_{D_i }\{ f(x)\}$ ?? avec quels type d'ensemble $D_i$ cela marche (compacts ?...) etc...
Si oui, comment le montrer, je n'y arrive pas...

2) A-t-on $\displaystyle \sup_{\cup_{t >0} D_t }\{ f(x)\}=\sup_{t >0}\sup_{D_t }\{ f(x)\}$ ???

Je ne trouve pas de théorèmes généraux sur les bouquins... HELP ! :p

Merci d'avance.

Tertiath

Réponses

  • GERARD
    GERARD
    Salut Tertiath.

    Pour le 1) il est facile de voir que le sup est supérieur au max, car le sup sur la réunion est au moins égal au sup sur chaque Di. L'inégalité dans l'autre sens est moins évidente, mais par définition du sup, il est possible d'obtenir une suite d'éléments de la réunion qui tend vers ce sup. Dans cette suite, il y a une infinité d'éléments dans au moins un des Di, disons D1. On en déduit que le sup est inférieur ou égal au sup dans D1. D'où...
    Je te laisse formaliser la preuve.

    Pour le 2), je suis moins sûr. Là encore on a l'inégalité >= qui est évidente (le sup d'une partie est inférieur ou égal au sup de l'ensemble). Mais je soupçonne qu'il existe des cas où le sup global est strictement plus grand (sans avoir d'idée d'exemple).

    Cordialement
  • Laotseu0
    Laotseu0
    Bonjour. Pour le 2) comme pour le 1), on a bien égalité. En effet, la borne supérieure d'un ensemble est le plus petit de ses majorants. Or les deux objets ont exactement le même ensemble de majorants :
    $$
    \begin{array}{rcl}M\geq \displaystyle \sup_{\cup_{t >0} D_t }\{ f(x)\}&
    \Leftrightarrow& \forall x\in \cup_{t >0} D_t, M\geq f(x)\\
    &\Leftrightarrow& \forall t>0, \forall x\in D_t, M\geq f(x)\\
    &\Leftrightarrow& \forall t>0, M\geq \sup_{D_t}\{f(x)\}\\
    &\Leftrightarrow& M\geq \sup_t\sup_{D_t}\{f(x)\}
    \end{array}$$
    Donc les deux bornes supérieures sont égales.
  • GERARD
    GERARD
    Parfait, Laotseu.
    J'ai été un peu trop méfiant.

    Cordialement
  • Tertiath
    Tertiath
    Merci à vous !!
    Laotseu, j'ai repris ta preuve, elle me paraissait compliquée, mais j'ai fini par comprendre chaque équivalence (je ne maitrise(ais?!) pas bien les propriétés de la borne sup, mais je progresse... :p)
    Merci beaucoup. :)

    Ceci dit, j'ai lu les indications de preuves "directes" de GERARD, et je ne comprends pas ce passage:
    $\displaystyle \sup_{ \cup_{i=1}^n D_i }\{ f(x)\}\leq max_{i=1,..,n}\sup_{D_i }\{ f(x)\}$
    [cette inégalité] est moins évidente, mais par définition du sup, il est possible d'obtenir une suite d'éléments de la réunion qui tend vers ce sup. Dans cette suite, il y a une infinité d'éléments dans au moins un des Di, disons D1. On en déduit que le sup est inférieur ou égal au sup dans D1. D'où...
    Je ne comprends pas le "on en déduit"... Pourriez-vous détailler ?

    Merci milles fois à tous.

    Tertiath
  • GERARD
    GERARD
    Salut Tertiath !

    L'argument que j'utilise est que la limite d'une suite (ici de la sous suite) contenue dans D1 est inférieure ou égale au sup dans D1 (passage à la limite sur les inégalités) associé à l'idée qu'une sous suite infinie d'une suite convergente est une sous suite convergente.

    Cordialement
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3

FoysLirone93 +1 Invité