fonctions automorphes
Bonjour à tous,
quelqu'un peut-il me donner les principes des demonstrations des principaux resultats sur les fonctions automorphes ?
Notamment sur l'existence d'une relation algebrique entre deux fonctions G-Automorphes.
Ou mieux, existe-t-il un cours "online" sur ces fonctions ?
(ou une introduction parlant des liens avec les fonctions elliptiques et modulaires, avec au moins les grandes lignes des demonstrations)
Merci
quelqu'un peut-il me donner les principes des demonstrations des principaux resultats sur les fonctions automorphes ?
Notamment sur l'existence d'une relation algebrique entre deux fonctions G-Automorphes.
Ou mieux, existe-t-il un cours "online" sur ces fonctions ?
(ou une introduction parlant des liens avec les fonctions elliptiques et modulaires, avec au moins les grandes lignes des demonstrations)
Merci
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Réponses
Klein Histoire des mathematiques au XiX eme siecle.
Mais ce n'est pas tres complet.
M.
Voici en pièce jointe de quoi t'occuper un petit moment.
A+
eric
M,
Sur l'existence d'une relation algébrique entre deux fonctions $f$ et $g$ $G$- automorphes dans le cas où $G$ est fuchsien et cocompact (i.e. $H/G$ compact), alors $f$ et $g$ induisent des applications méromorphes $\overline{f}$ et $\overline{g}$ sur la surface de Riemann compacte $X=H/G$. Si $\overline{f}$ est de degré $n$, alors le corps $M(X)$ des fonctions méromorphes sur $X$ est une extension de degré $n$ de $\C(\overline{f})$ (ce théorème est classique et se trouve dans tous les livres sur les surfaces de Riemann). En particulier, $\overline{g}$ est racine d'un polynome irréductible sur $\C(\overline{f})$ et il en va de même pour $g$ sur $\C(f)$. On multiplie alors par une puissance convenable de $f$ pour obtenir la relation algébrique sous forme polynomiale.
Sinon, on sait que pour des fonctions $G$ automorphes non identiquement nulles et "qui se comportent bien" (telles par exemple les fonctions modulaires $J$ et $\lambda$; pour les détails voir le chapitre 4 du livre de Ford "Automorphic Functions"), le nombre de zéros est le même que le nombre de poles dans une région fondamentale de $G$ (En un certain sens à préciser. Notons qu'on ne suppose plus ici $G$ cocompact. On pourra comparer ce résultat avec le troisième théorème de Liouville-qu'il généralise-pour les fonctions elliptiques ou plus généralement à la version qui concerne les surfaces de Riemann compactes.).
Soit maintenant $f$ et $g$ deux fonctions $G$ automorphes de degrés respectifs $k$ et $l$. Notons $R$ une région fondamentale de $G$. Soit $m$ et $n$ des entiers choisis de sorte que $(m+1)(n+1)-1>mk+nl$ et soit $x_{1},x_{2},...,x_{(m+1)(n+1)-1}$ des points de $R$ différents des pôles de $f$ et $g$ dans cette même région. Si $a_{1},a_{2},...,a_{(m+1)(n+1)}$ sont des complexes choisis de sorte que
$a_{1}f^{m}(x_{i})g^{n}(x_{i})+a_{2}f^{m}(x_{i})g^{n-1}(x_{i})+
...+a_{(m+1)(n+1)}=0$ pour $i=1...(m+1)(n+1)-1$
(ce qui est possible puisqu'il y a plus d'équations que d'inconnues)
alors la fonction $G$ automorphe $h=a_{1}f^{m}g^{n}+a_{2}f^{m}g^{n-1}+
...+a_{(m+1)(n+1)}$ a plus de zéros que de poles car $(m+1)(n+1)-1>mk+nl$ et$h$ a au plus $mk+nl$ poles. $h$ est donc identiquement nulle.
Pour plus de détails, voir le livre que j'ai déjà cité. Désolé, je ne connais pas de cours présent sur le net sur le sujet.
F.F.
c'est exactement ce qu'il me fallait.
Il reste encore du boulot, mais je préfère (c'est plus formateur...).
Un grand merci à Mauricio, Eric et François.
Aërandir
~~~~~
le document parle aussi des fonctions automorphes, meme
s'il ne se limite pas qu'a ca effectivement.
a+
eric
Mauricio>