Suite arithmético-?

Bonjour,
Une matrice A de taille (n,n) est racine de son polynome caractéristique.
Ce polynome de degré n fournit une relation de récurrence linéaire qui permet de calculer A^k en fonction des fonctions des A^(k-1), A^(k-2), ... , A^(k-n).
Finalement, A^k est une combinaison linéaire des A, A^2, A^3, ... , A^(n-1).
Les coefficients de cette combinaison linéaire s'expriment à l'aide de k et de puissances k-ièmes des valeurs propres de A.

Si: u(n+1)=A*u(n)+B*k^n, on pintroduit la suite v(n) définie par:
u(n)=v(n)*k^(n-1). En reportant dans la relation, on obtient , après simplification par k^n:

v(n+1)=(A/k)*v(n)+B

Si A est différent de k, la suite est arithmético-géométrique
Si A=k, ce qui est le cas chez jp, la suite v(n) est arithmétique.

On fait comme pour les équations différentielles : la variation de
la constante. Ici, l'équation homogène associée est $a_{n+1}=4 a_n$
dont la solution générale est $a_n =c \,4^n$. On cherche alors une
solution particulière sous la forme $a_n =c_n 4^n$, et on trouve que
$c_n$ doit vérifier : $c_{n+1}-c_n=3/4$, d'où : $c_n=3n/4 + c_0$.
Finalement la solution générale de la relation de récurrence est :
$a_n=3n4^{n-1}+c_0 4^n$, $c_0$ constante arbitraire.

Cela marche exactement comme pour les équations différentielles
dans le cas général, les formules sont les mêmes en tenant compte
du dictionnaire : la dérivation correspond à la différence première
$\Delta u_n=u_n-u_{n-1}$ et l'intégration à la sommation $\sum_0^n u_k$.

On peut aussi le faire avec les fonctions génératrices. Soit $a_0$ un réel.

En multipliant par $x^n$ la relation $a_{n+1} = 4a_n + 3 \cdot 4^n$ et en sommant sur $\N$, on obtient

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^\infty a_{n+1} x^n & = & \sum_{n=0}^\infty (4a_n + 3 \cdot 4^{n-1}) x^n \\
\Longleftrightarrow \quad \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n - \frac{a_0}{x} & = & 4\sum_{n=0}^\infty a_n x^n + 3 \sum_{n=0}^\infty 4^n x^n \\
\Longleftrightarrow \quad (1-4x)\sum_{n=0}^\infty a_n x^n & = & \frac{3x}{1-4x} + a_0 \\
\Longleftrightarrow \quad \sum_{n=0}^\infty a_n x^n & = & 3x \cdot \frac{1}{(1-4x)^2} + a_0 \cdot \frac{1}{1-4x} \\
& = & 3x \sum_{n=1}^\infty n4^{n-1}x^{n-1} + a_0 \sum_{n=0}^\infty 4^n x^n \\
& = & a_0 + \sum_{n=1}^\infty (3n \cdot 4^{n-1} + a_0 \cdot 4^n)x^n, \\
\end{eqnarray*}

et donc par identification, on obtient le résultat cherché : pour $n \in \N$, on a
\[
a_n = 3n \cdot 4^{n-1} + a_0 \cdot 4^n.
\]


Ca peut paraître un peu bourrin ici mais ça marche avec d'autres relations de récurrence beaucoup plus difficiles à traiter autrement. Si ça vous a plus, allez voir le livre generatingfunctionology de Herbert Wilf : \lien{http://www.math.wisc.edu/\~{}propp/491/gfologyLinked.pdf}.