Fonction partout continue, nulle part dérivable

Bonjour,

sauf confusion de ma part, un exemple classique est la fonction de Dirichlet. Cette fonction f(x) est définie comme étant égale à 0 en tout point d'abscisse x irrationnelle et égale à 1 en tout point d'abscisse rationnelle.
Son retentissement historique vient de ce qu'on ne savait pas l'intéger au sens de Riemann et qu'il a fallu attendre l'intégrale de Lebesgue pour surmonter la difficulté (on montre alors que l'intégrale de la fonction de Dirichelet sur [0, 1] est nulle).

si, un mouvement brownien satisfait cela avec une probabilité égale à $1$. Donc de telles fonctons existent :-)

merde, j'ai fait une erreur: il faut bien entendu remplacer i par n dans l'indice muet de la sommation. Une recherche google sur fonction de Weierstrass te donnera certainement les démos sur la continuité et la non dérivabilité. De plus, la fonction est dérivable pour tout rationnel, mais c'est un espace de mesure 0 au sens de Lebesgue.

En fait, on peut prouver qu'il y a beaucoup plus de fonctions de ce type "pathologique" que de "bonnes" fonctions (disons C1, par exemple), contrairement à ce que beaucoup de mathematiciens pensaient jusqu'à je ne sais quand (je n'arrive pas à retrouver la source de cette affirmation, par contre).

En chechant sur le site de Wolfram, la preuve totale de la non différentiabilité de f en tout point irrationel daterait de 1972 !!

C'est un peu embêtant de ne pas pouvoir éditer ses posts. Bref, il y a visiblement plusieurs définitions de la fonction de Weierstrass, une autre plus simple que celle que j'ai donnée au dessus est la suivante :

<http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassFunction.html&gt;

Avec en prime un joli graphe de la fonction. Cet exemple est particulierement intéressant, car il montre que la continuité seule ne garantit pas du tout le caractère "smooth" (mon dieu, mon sejour à l'étranger prolongé me fait perdre mon français) du graphe d'une fonction. Il y a aussi un lien entre ces fonctions de Weierstrass et les fractales ; une approche assez intéressante est faite dans le petit bouquin de Boccara sur l'intégrale de Lebesgue, au chapitre 2.

Pour l'existence je trouve quand même beaucoup plus élégant la preuve utilisant le théorème de Baire. On regarde une intersection d'ouverts denses dans C0(les fonctions dérivables de dérivée supérieure à n partout) qui est elle aussi dense dans C0(grace à Baire) et donc est non vide.

On a même gratuitement la densité de l'ensemble des fonctions continues partout, dérivables nulle part dans C0 (bon modulo quelques hypothèses et précisions supplémentaires l'idée de la preuve est là).

Je trouve ca tellement énorme de montrer une existence sans construire d'élément !

t-mouss

Mais oui, c'est bien évident, la fonction de Dirichlet n'est pas continue.
Où avais-je la tête ? En fait, j'ai fait une confusion avec le travail de Bolzano, avant Weierstrass si mes souvenirs sont exacts ce qui n'est pas sûr.
Bon, je me suis assez emmêlé les crayons pour aujourd'hui ! Je vais essayer de retrouver cela dans des notes anciennes...

Mais bs, à l'époque de Weierstrass le théorème de Baire n'était pas connu, si ? D'ailleurs la plupart des mathématiciens contemporains de Weierstrass (notamment Hermite) ne voulait pas entendre parler de ça. Ce n'est qu'une génération plus tard que les mathématiciens ont commencé à s'intéresser à des objets "irréguliers".

t-mouss

imagine que l'on te dise qu'il existe de jolies filles cultivées mais que tu ne puisses jamais en rencontrer ! ne serait-ce point un tantinet frustrant?

c'est top de regarder la fonction de Weierstrass plus haut.