Intégrale qui résiste

Blairmout0 · May 2006

Bonjour! Voilà je dois prouver cette relation $$\int_{0}^{+\infty}{\frac{n}{1+t^n}}dt=\frac{\pi}{\sin \pi/n}$$ et je ne vois pas bien comment aborder l'exercice. Je pensais me servir d'une décomposition en élément simples à l'aide de racines n-ièmes de -1 mais bon... J'ai aussi l'impression que cette intégrale a un lien avec la fonction Gamma d'Euler mais je ne pense pas que ce soit grâce à elle que je puisse prouver l'égalité.
Quelqu'un aurait-il une piste à me donner par hasard?

Merci d'avance

Guego0 · May 2006

La méthode des résidus marche plutôt bien.

alekk · May 2006

oui, c'est un exemple classique d'utilisation des résidues. (essaye un contour qui ressemble à un cone d'ouverture $\frac{2 \pi}{n}$ de sommet $0$)

Blairmout0 · May 2006

D'accord mais le problème c'est que je n'ai pas encore fait la théorie des résidus donc n'y aurait-il pas une autre méthode même assez calculatoire? Je pense que je doit faire cela uniquement à l'aide du calcul intégral de base.

stef la bise · May 2006

le premier problème de ce sujet des petites mines répond à cette question, mais de manière assez longue:

<http://www.mines.net/documents/Mathspe-03.pdf>

f jaclot0 · May 2006

Bonsoir Blairmout,

Une autre methode - la plus rapide a mon sens - consiste a se ramener a la fonction Beta d'Euler par un changement de variable tres simple :

Beta (1/n;1-1/n) = Gamma(1/n).Gamma(1-1/n) = Pi / Sin(Pi/n)

Good luck !

fjaclot;

f jaclot0 · May 2006

Bonsoir Blairmout,

Une autre methode - la plus rapide a mon sens - consiste a se ramener a la fonction Beta d'Euler par un changement de variable tres simple :

Beta (1/n;1-1/n) = Gamma(1/n).Gamma(1-1/n) = Pi / Sin(Pi/n)

Good luck !

fjaclot;

jean lismonde · May 2006

bonjour

en dehors des résidus, je connais deux méthodes pour aboutir à ce résultat (qui est valable en fait pour un exposant n réel quelconque positif)

le passage par Béta et Gamma fonctions eulériennes proposé par fjaclot, méthode sans doute la plus rapide

la décomposition en fractions simples de 1/(1+x^n) qui est toujours possible et intégration terme à terme (en coupant l'intervalle d'intégration: de 0 à 1 puis de 1 à l'infini et en changeant de variable)

il faudra utiliser le développement en fractions rationnelles de pi/sin(pi/n)

(calculé à partir des produits eulériens) et par identification on trouve l'identité

cette méthode est laborieuse mais abordable par un élève de terminale

cordialement

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