équation fonctionnelle
Bonjour,
j'ai travaillé sur la leçon 80 du capes qui est :
caractérisation des fonctions exponentielles réelles par l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y), applications.
Le problème est que je ne trouve pas d'applications, j'en ai trouvé seulement une qui est la résolution de l'équationf(x+y)=f(x)+f(y), en utilisant celle que l'on a vu juste avant.
Mais ensuite, je ne vois vraiment pas ce qu'on peut metter en applications.
Avez vous des idées ?
Séverine
j'ai travaillé sur la leçon 80 du capes qui est :
caractérisation des fonctions exponentielles réelles par l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y), applications.
Le problème est que je ne trouve pas d'applications, j'en ai trouvé seulement une qui est la résolution de l'équationf(x+y)=f(x)+f(y), en utilisant celle que l'on a vu juste avant.
Mais ensuite, je ne vois vraiment pas ce qu'on peut metter en applications.
Avez vous des idées ?
Séverine
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Réponses
Notons $F$ la fonction de répartition de $X$ et $\overline{F}=1-F$. Alors l'hypothèse faite sur $X$ se traduit par : $\forall s,t > 0, \, \overline{F}(s+t)=\overline{F}(s) \overline{F}(t)$. Comme de plus $\overline{F}$ est continue à droite, on en déduit qu'elle est de la forme $\overline{F}(x)=e^{ax}$ (pour $x > 0$). D'où $F(x)=1-e^{ax}$ ; comme $\lim_{+ \infty} F = 1$ on a $a < 0$. En posant $\lambda=-a > 0$ on retrouve la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, dont une densité est $f(x)=1_{\R_+^*}(x) \lambda e^{-\lambda x}$.
Réciproquement une variable aléatoire suivant une loi exponentielle vérifie clairement la propriété de non-vieillissement, qui caractérise donc cette famille de lois sur $\R_+^*$.
Je vais mettre en 1ère application la résolution d'autres équations fonctionnelles ,et en seconde application parler des va sans mémoire.
Séverine