espaces de Sobolev

Bonjour

Le Evans cité est celui intitulé : "Fine properties of functions" ?
Parce que si c'est ce bouquin, ça nécessite quand même une très grande maîtrise du sujet. Ce bouquin est génial, bien sûr, j'ai rarement vu un livre si bien écrit et avec tant de remarques pertinentes, mais le niveau de ce livre est très haut et pour débuter.
Je crois que les éditions Ellipses (dans la collection 2eme cycle) ont un petit bouquin qui doit s'appeler "Eléments d'analyse convexe". Ce livre contient une introduction aux espaces de Sobolev très lisible qui permet après de se jeter sur le Evans ou le Adams.

jn.

le poulpe, les outils qui te seront nécessaires pour entreprendre le chemin vers les espaces de Sobolev seront essentiellement l'intégration de Lebesgue (en particulier les espaces $L^2$), de la topologie, de l'analyse fonctionnelle et de la théorie hilbertienne.

Je ne peux être qu'admiratif qu'un élève de spé se lance dans une telle aventure. (Mais prends pas la grosse tête, hien ;-)

Je te souhaite autant de plaisir que je peux en avoir à faire des Maths. D'autant que tu as certainement le talent qui me manque.

Pour revenir sur le sujet, personnellement la meilleure introduction que je connaisse des Espaces de Sobolev (et très progressive) est mon poly de Maîtrise de Paris VI obtenu lorsque j'ai passé la Maîtrise par correspondance. Désolé mais ça ne va pas t'aider beaucoup...

Kilébo, sans les distributions on ne peut pas définir les Sobolev

Au fait, ne pourriez-vous pas donner la définition d'un espace de Sobolev ?
Et puis peut-être me dire quel genre de problèmes cela permet de résoudre ?

Merci
Lebesgue (humble élève de Math Spé)

Bon puisque c'est comme ça je vais chercher la définition par moi même sur mathworld.

Cauchy : On peut sans problème les définir pour $k$ entier positif en parlant seulement de dérivées faibles, sans parler de distributions ; d'ailleurs je crois me rappeler que c'est ce que fait Brézis non ?


Lebesgue : Pour donner une définition "simple" sans distributions des espaces de Sobolev, on commence par définir la dérivation faible. Pour simplifier je me place dans le cas d'une seule variable.

Si $1 \leq p \leq +\infty$, $\Omega$ est un ouvert de $\R^$, on dit qu'une fonction $f \in L^p (\Omega)$ admet la fonction $g \in L^p (\Omega)$ comme dérivée faible si et seulement si pour toute fonction $\varphi \in \mathbb{D}(\Omega)$ on a $\int_{\Omega} g \varphi = - \int_{Omega} f \varphi'$, où $\mathbb{D}(\Omega)$ est l'ensemble des fonctions de classe $C^{\infty}$ à support un compact $K$ inclus dans $\Omega$. On voit alors que $g$ est uniquement déterminée presque partout, donc bien définie comme élément de $L^p$, et que la définition prolonge celle pour le cas où $f \in C^1(\Omega) \cap L^p(\Omega)$ et $f' \in L^p( \Omega)$, il s'agit d'effecuter une intégration par parties. On note $g = \partial f$.

L'avantage est que cette nouvelle définition ne fait intervenir ni une véritable dérivation sur $f$, ni les valeurs ponctuelles de $f$, ce qui est plus cohérent avec la "philosophie" $L^p$ des fonctions définies presque partout. Et surtout elle est plus large : la fonction $f(x)=|x|$ n'est pas dérivable sur $\Omega=]-1,1[$ mais elle admet une dérivée faible dons $L^p(\Omega)$ pour tout $p$, en la personne de la fonction signe : $\mathrm{sgn}(x)=1$ si $x > 0$, $\mathrm{sgn}(x)=-1$ si $x < 0$, et $\mathrm{sgn}(0)$ vaut ce que vous voulez. Il est facile de vérifier que $\mathrm{sgn} = \partial f$.

L'espace de Sobolev $W^{k,p} (\Omega)$ est le sous-espace de $L^p (\Omega)$ formé des fonctions $f$ qui sont $k$ fois dérivables au sens faible, et dont les $k$ dérivées successives sont dans $L^p$. On le munit de la norme $||f||_{W^{k,p}(\Omega)} = \sum_{j=0}^k ||\partial^j f||_{L^p (\Omega)}$, qui le rend complet, bla bla bla.. pour la suite je te renvoie au Adams ou au poly de J.Y. Chemin évoqué par kilébo, ou aux nombreux cours évoqués sur le forum ; il te suffit de faire une recherche "cours+distributions+sobolev".

egoroff , c est pas vrai il faut savoire les distributions avant, alors comment tu defini $H^{-1}$ ou $W^{-m,q}$

Meme c est pas vrai! $W^{-m,q}=(W_{0}^{m,p})'$, de plus avec les distributions tu peut donner une forme explicite de $W^{-m,q}$

$ \varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ on a $ \int_{\Omega} g \varphi = - \int_{\Omega} f \varphi'$, où $ \mathcal{D}(\Omega)$

Je sais pas trop si c'est approprie, mais un bouquin extremement interessant si tu t'interesses un peu plus au cote "applicatif" des choses, qui parle entre autre des espaces de Sobolev et de leur lien avec Fourier, c'est

" A wavelet tour of Signal Processing" de Stephane Mallat (un des "inventeurs" de la theorie des ondelettes fin annees 80/debut 90). C'est pas vraiment un bouquin de maths dans le sens ou c'est pas toujours rigoureux dans les definitions (mais il y a des preuves), mais par contre, c'est un des meilleurs bouquins que j'ai lu sur le traitement du signal, et il y a plein de liens entre differents sujets a priori differents (estimation statistique, Fourier, Distribution de Wigner Ville, ondelettes, approximation lineaire, non lineaire, representations redondantes). Si tu n'es interesse que par le cote mathematique, ca sera pas suffisant, mais interessant dans les liens faits entre differents concepts.

Il existe aussi en francais, que je ne connais pas, mais qui devrait etre de bonne qualite vu que Mallat est francais.

Bonjour,

je dis juste merci pour le lien vers la page LeDret...
Enfin moi je suis plutôt un Spé qui aime bien l'algèbre (enfin pour l'instant!)... d'ailleurs, il traite de quoi ce Mneimné?

@+++ Duck69

"faire un peu d'espaces de Sobolev dont tout le monde dit tant de bien..."

... ou pas ! On peut très bien vivre sans.

Du moins, sans vouloir provoquer les EDPistes du forum, il me semble qu'en sortant de spé, il y a des tas de choses à voir qui sont culturellement, au niveau second cycle, plus essentielles que les espaces de Sobolev (que l'on peut accessoirement définir avec de la transformée de Fourier, me semble-t-il). Parmi ces choses, et par goût personnel, je mettrais : l'algèbre un peu évoluée les probas et les stats, et se réconcilier avec la géométrie différentielle apres la taupe !

Merci lepoulpe... d'accord, je vais aller voir l'autre sujet!

Pour Ben, en effet il faudrait que je goûte un peu à la géo. diff. mais y a-t-il des indispensables en la matière?

@+++ Duck69