Jordan Holder

Je m'étais posé la même question, j'imagine d'ailleurs que tu sais pourquoi, mais je suis resté un peu bredouille.

Il y a deux réponses un peu bidon : ça permet de « retrouver » la décomposition en facteurs premiers dans N, et deux-trois résultats sur la dimension des espaces vectoriels. Àmha, c'est un peu pipoë, mais bon.

La meilleure réponse que j'ai est en fait que ça justifie un peu l'étude d'un groupe en étudiant un sous-groupe distingué et le quotient correspondant (c'est évidemment pas la seule raison). Je crois qu'il est assez patent qu'on s'intéresse plus au « dévissage » d'un groupe de cette façon, plutôt que, par exemple, en produit, ce qui fait qu'on peut à bon droit considérer les groupes simples comme les bonnes « briques élémentaires » de la théorie des groupes, plutôt que les groupes indécomposables. Encore une fois, il est évident que ce n'est pas la seule raison, mais on va dire que le théorème de Jordan-Hölder permet de justifier a posteriori cette façon d'étudier les groupes.

Mais bon, il est clair que c'est un théorème un peu philosophique. Il manque de grosses applications bien violentes, qui seraient, j'en conviens, un peu plus sexys à l'agreg.