interversion somme intégrale

bonsoir rom1,
avec $b\in \R$ ou $b=+\infty $ :
{\bf } les fcts $f_i$ sont à valeurs réelles d'un signe constant, alors l'égalité
$$\int_{a}^{b}\sum_{i=0}^{\infty}f_i(x)dx=\sum_{i=0}^{\infty}\int_{a}^{b}f_i(x)dx$$
est toujours vraie (en acceptant la valeur $+\infty $ pour les sommes ou pour les intégrales).
sinon (si les fcts $f_i$ sont à valeurs réelles de signe quelconque ou à valeurs complexes), ça se complique....:
l'égalité n'est plus {\bf toujours} vraie, mais elle le reste sous la condition suffisante (assez fréquente en pratique) que la série de terme général
$$\int_a^b\,|f_i(x)|\,dx$$ soit convergente.
Evidemment, les deux cas mentionnés ne recouvrent pas les situations de "semi-convergence" de la série $\Sigma f_i$ ou de la série $\Sigma \int_a^b\,f_i$.

J'ai trouvé plein de contre-exemples pour $\displaystyle{\lim \int \neq \int \lim}$ mais aucun pour $\displaystyle{\sum \int \neq \int \sum}$.

Quelqu'un en aurait-il ?

Pour Velho

Tu peux transformer tes exemples pour des séries ( une suite ou une série c'est pareil) en posant $\sum u_{n+1}-u_{n}$