intégrale triple

fred-lille · May 2006

Bonjour,

voila mon souci dans l'exercice suivant d'intégration triple:

ensemble de déf D={(x,y,z) de $\R^3$ / $ \frac{x^2}{a^2} $+ $ \frac{ y^2}{b^2} $ + $ \frac{z^2}{c^2} \leq 1} $

f: (x,y,z) --> $ \ x^2 \ y^2 \ z^2 $

on cherche à calculer sur D, l'integrale triple de f.

J'ai bien compris le principe de changement de variables, avec calcul du jacobien si ce changement se fait directement etc...
Mon probleme demeure les bornes d'integration:

r de 0 à 1
teta et phy??? 0 à 2pi???

si c le cas j'obtiens 0 au final???

merci

ptitloupfouchou · May 2006

... ?

Longjing · May 2006

Je me contente de transcrire, le plus fidèlement possible, j'espère...

Bonjour, \\
\\
voila mon souci dans l'exercice suivant d'intégration triple:\\
\\
ensemble de définition $D=\{(x,y,z)\in \Bbb R^3 \text{tels que} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1\} $\\
\\
$f\,:\, (x,y,z)\longmapsto x^2 y^2 z^2 $\\
\\
on cherche à calculer sur D, l'integrale triple de f.\\
\\
J'ai bien compris le principe de changement de variables, avec calcul du jacobien si ce changement se fait directement etc...\\
Mon probleme demeure les bornes d'integration:

\begin{itemize}
\item r de 0 à 1
\item $\theta$ ?
\item $\varphi$ ?
\end{itemize}

si c le cas j'obtiens 0 au final???\\
\\
merci

Longjing

Richard André-Jeannin · May 2006

Je préfère les intégrales touples.

ptitloupfouchou · May 2006

Par changement de variable tu te ramènes à la sphère et puis après tu fais un changement de variable shéprique :

Et tu intègres r de 0 a 1 , théta de 0 a pi et phi de 0 a 2pi

Et tu ne vas pas trouver 0 : tu intègres une fonction positive continue sur un truc non négligable et elle est strictement positive en certains endroits ...

fred-lille · May 2006

Bonjour,

bon ben en dépit de ces bornes que je comprends mieux aujourd'hui, qqn peut il me dire ou mon calcul est faut?

je fais un changement de variables en
x=ar cos($\phi$) sin($\theta$)
y=br sin($\phi$) sin($\theta$)
z=cr cos($\theta$)

Jacobien = abc $ \r^2 sin (\theta)$

d'ou I=$\(abc)^3 \int_{x=0}^{1} \int_{x=0}^{2\pi} \int_{x=0}^{\pi}\r^8 \(cos(\phi))^2 \(sin(\phi))^2 \(sin(\theta))^5 \ (cos(\theta))^2 dteta dphi dr $

Fubini + fonction à variable separables....
pour celle en r => 1/9
pour celle en phi => pi/4
et là mystère celle en teta donne 0!

que d'heures la dessus! merci pour tte aide

ptitloupfouchou · May 2006

jacobien abc ????

hum je dirai que tu doi avoir un truc du style constante*r^2*sin($ \theta$)*dr*d$ \theta$*d$ \phi$

fred-lille · May 2006

nan dsl ptitloup,

c'est ce foutu latex que je parviens pas a maitriser!

j'ai J= abc * r^2*sin(teta)

et 3 integrales que je separe grace a fubini,

une en r qui me donne 1/9
l'autre en phi entre 0 et pi qui donne pi/8
et enfin en teta (la ou ca merde!) qui 0 donne entre 0 et 2pi !!!!

j'ai en tout l'expression suivante a integrer:

(abc)^3 * (r^8) * (cos phi * sin phi)^2 * (sin tetâ)^5 * (cos teta)^2

voila ca devrait mieux aller sans latex, merci!

fred

fred-lille · May 2006

Bonjour,

en reprenant les calculs mais ce coup ci en inversant les bornes, c'est à dire:
integrale en phi entre 0 et 2pi
integrale en teta entre 0 et pi,

ca marche j'ai bien qqchose de fini en cste*pi* (abc)^3

Or ce n'est pas normal, car aucun choix n'est à faire entre phi et teta, tant que l'une est intégrée entre 0 et pi tandis que l'autre l'est entre o et 2pi.

Me trompe-je???

Merci!

ptitloupfouchou · May 2006

Pourquoi tu dis que j'ai faux ? c'était ce que je disais

cst*r^2*sin($ \theta$)*dr*d$ \theta$*d$ \phi$

bon avec cts = a*b*c a ce que tu dis mais c'est bon sinon

et puis sinon c'est toujours théta entre 0 et pi
phi entre 0 et 2*pi

sinon tu auras un problème de signe je pense et si tu coupes ton intégrale sur deux demis sphères tu devrais avoir A+A alors que avec le problème de signe tu obtients A-A
(hum un peu dit à la va vite alors je suis pas trop sur que çà vienne de là le problème mais mon intuition me dit que si )

egoroff · May 2006

Bien sûr qu'on ne peut pas inverser $\theta$ et $\varphi$ à sa guise, ils ne jouent pas du tout le même rôle ! La preuve, l'un apparaît dans le jacobien et pas l'autre...

Pour ce qui va suivre un petit dessin est utile. Dans le changement de variable tel que tu l'as écrit, $\varphi$ est la longitude. On voit qu'il ne concerne que les coordonnées "horizontales" $x$ et $y$. Il est clair qu'il doit décrire $[0,2 \pi]$ de manière à obtenir en entier les "parallèles" de la sphère (ou de l'ellipsoïde). D'un autre côté, $\theta$ concerne la cote $z$ d'une part, et le rayon vecteur horizontal $(x,y)$ d'autre part ; il est mesuré dans le plan vertical contenant notre point, en partant du pôle nord d'après ton changement de variable (en géographie il est plus souvent mesuré à partir de l'équateur). L'angle $\theta$ est l'analogue de la longitude et pour obtenir des méridiens entiers il faut le faire varier dans $[0,\pi]$.

Une dernière remarque, qui peut servir de moyen mnémotechnique : considère un élément infinitésimal de surface $ds$ sur ta sphère de rayon $R$., défini par une petite variation de $\theta$ et de $\varphi$. On a $ds = R \sin \theta \, d \theta \, d \varphi$. Comment retenir ce résultat ? Pourquoi $\sin \theta$ et pas $\sin \varphi$ ? Parce que la valeur de $\varphi$ n'influe pas sur la "taille" de l'élément $ds$. En revanche il est facile de voir que, plus on se rapproche des pôles, plus l'élément $ds$ est petit, affiné ; au contraire à l'équateur il est plus important presque carré. Je ne suis pas sûr d'être clair mais bon...

intégrale triple

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