je cherche à intégrer à intégrer le $cos^3(teta)$, dans le cadre d'un exercice de physique
j'ai voulu le faire par ipp, je ne sais pas si qqun pourrait me donner un truc pour trouver cette intégration
merci
Bonjour!
J'apporte ma petite pierre à l'edifice...
Pour eviter les regles de Bioche et compagnie:
$(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^3 =\frac{1}{8}((2cos(3x)+6cos(x))= \frac{cos3x}{4}+\frac{3cos(x)}{4}$
l'integration devient tres simple...
Citation : << Pour eviter les regles de Bioche et compagnie... exp(ix)+exp(-ix))/2 ... >>
Hum en utilisant ceci tu utilises les formules d'Euler et de Moivre, qui sont du même niveau que les règles de Bioches. Ta solution n'est donc pas plus simple, mais c'est une alternative intérressante ; )
Non, jc, plus maintenant, du moins officiellement...Mais c'est vrai que l'on continue à les voir d'une manière ou d'une autre.
Dans le cadre de la TS, on peut aussi (leur faire) montrer que, si $f(x) = \cos^3 x$, alors : $$f''(x)+9f(x) = 6 \cos x,$$ d'où $$\int \cos^3 x \, dx = \frac {1}{9} \left ( 6 \sin x - f'(x) \right ).$$
...Utiliser une équa diff simple vérifiée par la fonction que l'on cherche à intégrer est l'une des méthodes possibles, surtout lorsque la fonction en question est une fonction trigo et/ou exponentielle. C'est même très à la mode au bac, actuellement.
Salut Borde. Au premier coup d'oeil, ta méthode me semblait un peu tordue, mais à la réflexion, c'est peut-être pas inintéressant. Le plus dur est de retrouver l'équa diff. Tu fais bien d'écrire "on peut aussi (leur faire) montrer que"
Oui, il faut évidemment que l'équa diff en question soit suffisamment simple à obtenir (c'est le cas, ici) et à exploiter. Ce n'est pas traditionnel, mais c'est à la mode...
Si y=cos(x)^n, on montre de même que:
y"+n²y=n(n-1)cos(x)^(n-2). On pourrait peut-être en déduire une méthode pour calculer par récurrence les primitives de cos(x)^n.
Réponses
tu remplace cos^2 par (1+2cos)/2
puis changement de variable selon les règle de bioche
et voili voilou
$\displaystyle \int cos^3x dx=\int cosx(1-sin^2x)dx$ (en remplacant : $cos^2x$ par $1-sin^2x$).
On effectue le changement de variable : $u=sinx$ ; $du=cosx dx$.
Ainsi : $\displaystyle \int cos^3x dx=\int (1-u^2)du=u-\frac{u^3}{3}$
Soit : $\displaystyle \int cos^3x dx=sinx-\frac{sin^3x}{3}$.
En posant u=sin(x), on a:
cos(x)*sin²(x)=u²*u', dont la primitive est u^3/3
L'intégrale de (cosx)^3 est (9sinx + sin3x)/12
Cette intégrale est calculée par le très bon site
<http://integrals.wolfram.com/index.jsp>
Salutations
J'apporte ma petite pierre à l'edifice...
Pour eviter les regles de Bioche et compagnie:
$(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^3 =\frac{1}{8}((2cos(3x)+6cos(x))= \frac{cos3x}{4}+\frac{3cos(x)}{4}$
l'integration devient tres simple...
amicalement
cos²(x)=(1/2)(1+cos(2x))
cos(x)^3=(1/2)(cos(x)+cos(x)cos(2x))
Grâce à la formule: cos(p)cos(q)=(1/2)(cos(p+q)+cos(p-q)), ceci s'écrit:
cos(x)^3=(1/2)[cos(x)+(1/2)cos(x)+(1/2)cos(3x)]
=(3/4)cos(x)+(1/4)cos(3x)
Hum en utilisant ceci tu utilises les formules d'Euler et de Moivre, qui sont du même niveau que les règles de Bioches. Ta solution n'est donc pas plus simple, mais c'est une alternative intérressante ; )
Dans le cadre de la TS, on peut aussi (leur faire) montrer que, si $f(x) = \cos^3 x$, alors : $$f''(x)+9f(x) = 6 \cos x,$$ d'où $$\int \cos^3 x \, dx = \frac {1}{9} \left ( 6 \sin x - f'(x) \right ).$$
Borde.
Borde.
Borde.
Borde.
c'est pas la méthode officielle en TS pour trouver une primitive de $\cos^n x$ quand même?
Joaopa
:-)
En tapant cette (petite) remarque (sans doute assez peu intéressante, finalement), je ne pensais pas qu'elle allait déclencher ces réactions...
Elle ne vous plaît pas, cette méthode ?
Borde.
y"+n²y=n(n-1)cos(x)^(n-2). On pourrait peut-être en déduire une méthode pour calculer par récurrence les primitives de cos(x)^n.
Si $f(x) = \cos^n x$ et $\displaystyle {I_n(x) = \int f(x) \, dx$, alors on obtient : $$I_n = \frac {1}{n^2} \left ( n(n-1) I_{n-2} - f'(x) \right ).$$
Borde.
Si $f(x) = \cos^n x$ et $\displaystyle {I_n(x) = \int f(x) \, dx}$, alors on obtient : $$I_n = \frac {1}{n^2} \left ( n(n-1) I_{n-2} - f'(x) \right ).$$
Borde.