Continuité convexité faible
Bonjour à tous,
je suis à la recherche d'un contre-exemple, voilà le problème:
On sait que si une fonction $f$ est convexe alors elle vérifie en particuliers:
$f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$ (1)
Réciproquement une fonction {\bf continue} qui vérifie (1) est convexe.
Connaissez-vous une fonction $f$ qui vérifie (1) mais n'est pas continue ?
Connaissez-vous une fonction $f$ qui vérifie (1) mais n'est pas convexe ?
En avez vous deja entendu parler? Avez vous des pistes ? s'il vous plait.
je suis à la recherche d'un contre-exemple, voilà le problème:
On sait que si une fonction $f$ est convexe alors elle vérifie en particuliers:
$f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$ (1)
Réciproquement une fonction {\bf continue} qui vérifie (1) est convexe.
Connaissez-vous une fonction $f$ qui vérifie (1) mais n'est pas continue ?
Connaissez-vous une fonction $f$ qui vérifie (1) mais n'est pas convexe ?
En avez vous deja entendu parler? Avez vous des pistes ? s'il vous plait.
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Réponses
oui, ca existe :
tu peut contruire une telle fonction a l'aide d'une base de hamel de $\mathbb R$ comme pour trouver les solution discontinue de l'equation de Cauchy $f(x+y)=f(x)+f(y)$...qui sont d'ailleurs des solutions de ton probleme
Pour construire une fonction convexe au milieu (c'est a dire satisfaisant) $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$ n'etant pas continue on utilise notion de Base de Hamel , qui je rappelle est une base $B$ pour le $\mathbb{Q}$-ev $\mathbb{R}$ (l'existence provient de l'axiome du choix). Soit donc $B$ une base de Hamel, alors pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f(x)=\alpha_1 f(b_1)+...+\alpha_n f(b_n)$, ou $x=\alpha_1 b_1+...+ \alpha_n b_n$. $f$ est additive (j'entends par la $f(x+y)f(x)+f(y)$) et est discontinue (sauf si les valeurs sur $B$ sont choisies telles que $f(b)=m_0b$ pour $m_0\in \mathbb{R}, b\in B$). $f$ est donc bien une fonction convexe au milieu et discontinue.
Enfin voila, une petite liste de resultats que j'aime bien :
Desole pour l'anglais, j'ai pas le courage de traduire, je me suis contente d'un copier coller....
{\bf Proposition} : The midpoint convex function $f$ defined on $[a,b]$ will be continuous (hence convex) on $]a,b[$ if
\begin{enumerate}
\item $f$ is bounded above on $]a,b[.$ (Jensen)
\item $f$ is bounded above on any nonempty open subset. (Bernstein)
\item $f$ is bounded above on a set $M$ with Lebesgue measure $m(M)>0$. (Ostrowski)
\item $f$ is bounded above on a set $M$ where $M+M$ has inner Lebesgue measure $m_*(M+M)>0.$ (Kurepa)
\item $f$ is bounded above on a set $M$ where for some $n$, $m_*(\sum_1^n M)>0$. (Kemperman)
\item $f$ is bounded above on a second category Baire set. (Mehdi)
\item $f$ is bounded above on a set $T$ ahere $T$ is a set such that every additive function bounded above on $T$ is continuous. (Kuczma)
\end{enumerate}
All the resultas mentionned so far etablish continuity of $f$ from an analysis of a subset of $]a,b[$ on which $f$ is bounded above.
Another type of result is the following :
{\bf Proposition} : If $f:]a,b[\to\mathbb{R}$ is measurable and mipoint convex, then $f$ is continuous on $]a,b[. $
jn.
PS : On s'enregistre t-on pour le forum afin de ne pas avoir a ecrire ce code??????
<BR>L'axiome du choix prouve que dans tout K-espace vectoriel E, tout sous espace vectoriel de E admet un suplémentaire. R est un Q-espace vectoriel dont Q est un sous espace vectoriel, l'existence d'un suplémentaire de Q permet de construire un morphisme de (R,+), forcément Q-linéaire mais pas R-linéaire. Cette application n'est donc pas continue (par contraposée).
<BR>Arthas<BR>
<BR>
<BR>Voila la marche à suivre pour s'inscrire sur le forum
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=283238&t=283206#reply_283238"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=283238&t=283206#reply_283238</a>
<BR>
<BR>Alain<BR>
<http://www.les-mathematiques.net/banque_exercice/voir_livre.php3?identifiant=82&cat=Analyse>