suite d'integrale

joss0 · May 2006

bonjour
ça m'a l'air ultra classique mais pourtant j'arrive pas a conclure

soit f une fonction de classe C1 de [0;1] dans $\R^+$

on suppose que $f'< 0, f(0)=1$

que se passe-t-il pour $ u_n = n\int_{0}^{1} (f(x))^ndx $ lorsque $ n \longrightarrow \infty $

ça a l'air de tendre vers 1 (pour $x\longmapsto e^{-x}, x\longmapsto 1-x $ par exemple) et en plus
$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\ u_n^{1/n}$ vaut 1 mais ça suffit pas

ouala merci

Fr1 · May 2006

En fait, je pense que ça tend vers -1/f'(0).

joss0 · May 2006

c'est possible mais il viendrait d'où ?

egoroff · May 2006

D'un développement limité à l'ordre 1 de $f^n$ en $0$ : localement $f(x)$ se comporte comme $1-f'(0)x$, donc $f^n(x)$ se comporte comme $1-nf'(0)x$. Bien sûr pour remettre tout ça dans l'intégrale il va falloir peser soigneusement ses $\varepsilon$ et ses $\delta$.

Fr0 · May 2006

Pour obtenir ce résultat, j'ai procédé comme suit:
_ poser u = n*x dans l'intégrale. On obtient alors $int_{0}^{n} f(u/n)^n du $.
_ considérer ensuite la suite de fonctions gn définies sur $\R+$ par: si 0?t?n alors gn(t) = f(t/n), sinon, gn(t) = 0. Notre inégrale est alors égale à $int_{0}^{?} (gn(t))^n dt $.
_ gn converge simplement vers g:t-> exp(f'(0)*t) car f(x) = 1 + f'(0)*x + o(x) et n*ln ( 1 + f'(0)*t/n) ~ f'(0)*t.
_ Cette fonction g est continue sur $\R+$.
_ Je n'arrive pas à majorer convenablement gn(t).
Mais si on y arrive, alors d'après le théorème de la convergence dominée, on peut conclure ce que j'ai dit juste avant.

Fr.

joss0 · May 2006

euh pourquoi y'a un "-" dans le développement limité ?

joss0 · May 2006

ok j'avais déjà essayé le theoreme de convergence dominé mais moins poussé et j'ai pas insisté

joss0 · May 2006

c'est $g_n(t)=(f(t/n))^n$ ou $f(t/n)$ tout court ?

Fr0 · May 2006

C'est la première expression qui est correcte...

Fr0 · May 2006

J'ai réussi en tous cas à trouver la domination. IL faut utiliser le fait que la fonction est concave et donc en-dessous de toutes ces tangentes (en particulier la tangente en 0).
On a donc: si 0?t?n alors 0?f(t/n)? f'(0)*t/n + 1
d'où 0? n*ln(f(t/n)) ? n* ln( f'(0)*t/n + 1) ? n*f'(0)*t/n( concavité du ln).
d'où 0 ? (f(t/n)) ^n?exp(f'(0)*t) = h(t). h est continue et intégrable sur R+. On a donc le résultat.

Fr.

Fr0 · May 2006

Je ne sais pas pourquoi ils ne sont pas passés mais les points d'interrogations correspondent à des "inférieur ou égal".

JeanPaulBrault · May 2006

Bonjour,

Soit In = int( f(t)^n, t=0..1)

Si f est continue sur [0, 1] alors lim In = f(0) pour n infini

Si de plus f'(0) existe on a le développement:

In = f(0) + 1/n * int( [f(t)-f(0)]/t, t=0..1 ) + o(1/n)

Amicalement

joss0 · May 2006

aho merci beaucoup je pensais que c'était plus banal.... j'aurais pas pensé à la majoration encore merci !

joss0 · May 2006

sinon jeanpaulbreau je vois In^(1/n)--> f(0) (on garde bien les mêmes hypothèses f>=0 f' <0 et f(0) =1 ??) mais sinon je comprend pas bien

ensuite ça voudrait dire que In --> f(0) donc n*In --> + oo ? ...

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