tangente d'inflexion

jfs1 · May 2006

Bonjour,

Comment démontrer que les tangentes d’inflexion de la courbe d’équation $y$ = $\displaystyle\frac{sin x}{x}$ restent tangentes à une courbe algébrique ? Et comment préciser cette courbe ?

Si le calcul de l’équation paramétrique des tangentes d’inflexion s’obtient sans difficulté par dérivations successives de xy = sinx, elle ne permet pas de montrer que les tangentes d’inflexion sont prélevées sur les tangentes d’une courbe algébrique.

Des idées ?

Mauricio4 · May 2006

Appelle a_n,b_n les coefficients de la tangente d'inflexion au n^ieme point, i.e., y=a_n x+b_n est une tangente d'inflexion. Tu dis que tu peux les calculer facilement. Alors, est-ce que tu peux trouver une relation algebrique entre les (a_n,b_n), si oui c'est gagne.
M.

jfs1 · May 2006

Je n’ai guère progressé.

par dérivations de $\displaystyle{xy = sinx}$, on en déduit qu'en un point d'inflexion d'abscisse $x$ , on a $\displaystyle{{y^'} = - \frac{sin x}{2}}$ et $\displaystyle{y = cosx + \frac{x sin x}{2}}$ et qu’une équation de la tangente d'inflexion est Y = - $\frac{X sinx}{2}$ + $cosx + xsinx$ (avec pour les $x$ les solutions de $\displaystyle{cosx + \frac{ xsinx}{2} = \frac{sinx}{x}}$ ).

Mais après ??

Mauricio4 · May 2006

tu dois donc montrer que il existe un polynome P(w,z) tel que
pour tout x solution de $ \displaystyle{cosx + \frac{ xsinx}{2} = \frac{sinx}{x}}$
P(sin x,cos x+x sin x)=0
La courbe que tu cherche est la duale de P=0.
M.

tangente d'inflexion

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