je voudrais demander si quelqu'un sait montrer que l'ordre d'une différentielle abélienne sur une surface de Riemann du 2em type est egal a 2g-2 (demonstration pour le cas d'une surface hyperelliptique seulement)
Une differentielle du deuxieme type c'est une forme holomorphe sans residus (ou c'est troisieme type je me trompe toujours).
L'ordre c'est quoi?
2g-2 c'est le degre de la classe canonique. Est-ce que c'est ca que tu demandes?
Ta question c'est: Demontrer que pour une forme differentielle sans pole simple, nombre de zeros-nombres de poles=2g-2.
Remarque
1. que pour une hyperelliptique, tu peux ecrire tres facilement les differentielles explicitement.
2. que ce nombre (si on parle du meme) ne depend pas de la differentielle choisie.
Bref, la reponse depend de tes connaissances.
M.
c'est une forme méromorphe sans résidu (mais je pense que c'est ce que tu voulais dire parce que holomorphe de toute facon la partie principale est nulle donc pas de résidu)
j'ai écris ordre mais je voulais dire degré ; ca revient en effet a montrer que ordre zéros-ordre poles=2g-2
on définit : si $d\Omega$ est une diff merom telle que $d\Omega$ s'écrit au voisinage d'un point $P$ de la surface $\Gamma$ :
$$d\Omega|_{P}=(c_{n}z^{n}+c_{n+1}z^{n+1}+...)dz$$
alors l'ordre de $d\Omega$ en $P$ est egal à $n$
donc si $P$ est un pole d'ordre $k$ on aura que l'ordre de la diff en $P$ est egal à $-k$ ; et si c'est un zéro d'ordre $m$ il sera égal à $m$
le diviseur principal de cette diff est alors définit par
$$(d\Omega)\sum_{P\in \Gamma}ord(d\Omega)|_{P}P$$
et son dégré
$$deg(d\Omega)=\sum_{P}ord(d\Omega)|_{P}$$
son degré correspond donc bien au nombre de zero - nombre de poles (comptés avec multiplicité)
le théorème est alors : soit $(d\Omega)$ une differentielle méromorphe du deuxième type. Alors $deg(d\Omega)=2g-2$
je sais écrire les différentielle holomorphes pour le cas d'une surface hyperelliptique mais pas les diff méromorphes
Tout d'abord ecrire les differentielles meromorphes sans poles simples est tres facile.
Par exemple pour une courbe elliptique sous forme de Weierstrass
dx/y holomorphe xdx/y meromorphe sans pole simple
Dans le cas general prends m=x,...,x^{k-3} mdx/y est holomorphe, les suivamtes sont holomorphes.
Pour demontrer ton thm, il ya plusieurs demontrations toutes interessantes.
1. La plus simple consiste a montre
a. que ce degre ne depend pas de la forme differentielle,
b. le calculer avec une forme choisie au hasard.
\Demonstrations.
a si a et b sont deux formes meromorphes alors a/b est une fonction meromorphes donc son diviseur est de degre 0. Par consequent deg(div a)=deg(div b)
Tu calcule ensuite le degre avec la forme dx/y
2. La demonstration precedente ne met pas en evidence le carctere topologique de ce que tu calcule (en fait la classe de Chern du fibre tangent)
Ta question est equivalente a montrer que le "degre d'un champ de vecteur X meromorphe " est 2-2g (exercice facile).
Une etude locale montrer que tu peux trouver un champ de vecteur Y C^\infini dont les courbes integrales sont celles de X et qui coincide avec X en dehors de petits voisinage des poles de X. Le champ de vecteur Y est une section du fibre tangent donc la somme de ses indices vaut 2-2g.
3. une derniere demonstration consiste a ecrire explicitement tes differentielles en coordonnees homogene.
Tu note e le champ d'Euler dans C^3. Tu fais le produit interieur de l''element de volume par e et tu divise par df. Tu obtiens un 1-forme omega et tu ecris tes differentielles meromorphes a l'aide de cette 1-forme.
Réponses
L'ordre c'est quoi?
2g-2 c'est le degre de la classe canonique. Est-ce que c'est ca que tu demandes?
Ta question c'est: Demontrer que pour une forme differentielle sans pole simple, nombre de zeros-nombres de poles=2g-2.
Remarque
1. que pour une hyperelliptique, tu peux ecrire tres facilement les differentielles explicitement.
2. que ce nombre (si on parle du meme) ne depend pas de la differentielle choisie.
Bref, la reponse depend de tes connaissances.
M.
j'ai écris ordre mais je voulais dire degré ; ca revient en effet a montrer que ordre zéros-ordre poles=2g-2
on définit : si $d\Omega$ est une diff merom telle que $d\Omega$ s'écrit au voisinage d'un point $P$ de la surface $\Gamma$ :
$$d\Omega|_{P}=(c_{n}z^{n}+c_{n+1}z^{n+1}+...)dz$$
alors l'ordre de $d\Omega$ en $P$ est egal à $n$
donc si $P$ est un pole d'ordre $k$ on aura que l'ordre de la diff en $P$ est egal à $-k$ ; et si c'est un zéro d'ordre $m$ il sera égal à $m$
le diviseur principal de cette diff est alors définit par
$$(d\Omega)\sum_{P\in \Gamma}ord(d\Omega)|_{P}P$$
et son dégré
$$deg(d\Omega)=\sum_{P}ord(d\Omega)|_{P}$$
son degré correspond donc bien au nombre de zero - nombre de poles (comptés avec multiplicité)
le théorème est alors : soit $(d\Omega)$ une differentielle méromorphe du deuxième type. Alors $deg(d\Omega)=2g-2$
je sais écrire les différentielle holomorphes pour le cas d'une surface hyperelliptique mais pas les diff méromorphes
Par exemple pour une courbe elliptique sous forme de Weierstrass
dx/y holomorphe xdx/y meromorphe sans pole simple
Dans le cas general prends m=x,...,x^{k-3} mdx/y est holomorphe, les suivamtes sont holomorphes.
Pour demontrer ton thm, il ya plusieurs demontrations toutes interessantes.
1. La plus simple consiste a montre
a. que ce degre ne depend pas de la forme differentielle,
b. le calculer avec une forme choisie au hasard.
\Demonstrations.
a si a et b sont deux formes meromorphes alors a/b est une fonction meromorphes donc son diviseur est de degre 0. Par consequent deg(div a)=deg(div b)
Tu calcule ensuite le degre avec la forme dx/y
2. La demonstration precedente ne met pas en evidence le carctere topologique de ce que tu calcule (en fait la classe de Chern du fibre tangent)
Ta question est equivalente a montrer que le "degre d'un champ de vecteur X meromorphe " est 2-2g (exercice facile).
Une etude locale montrer que tu peux trouver un champ de vecteur Y C^\infini dont les courbes integrales sont celles de X et qui coincide avec X en dehors de petits voisinage des poles de X. Le champ de vecteur Y est une section du fibre tangent donc la somme de ses indices vaut 2-2g.
3. une derniere demonstration consiste a ecrire explicitement tes differentielles en coordonnees homogene.
Tu note e le champ d'Euler dans C^3. Tu fais le produit interieur de l''element de volume par e et tu divise par df. Tu obtiens un 1-forme omega et tu ecris tes differentielles meromorphes a l'aide de cette 1-forme.
Il y a encore plein d'autre demonstrations.
M.