Comment montrer la convexité de l'application I(f) = $\int_{0}^{1} f(t)dt$ . $\int_{0}^{1}\frac{dt}{f(t)}$ où f est continue à valeurs strictement positives ?? Merci.
juste pour être d'accord: tu veux montrer que $I$, qui est une fonction de l'ensemble (convexe) des fonctions continues strictement positives vers $\mathbb{R}^+$ est convexe ?
Je ne connais pas la solution mais il y a plusieurs pistes:
1) se servir de la convexité de la fonction x-->1/x dans la deuxième integrale
2) peut etre essayer de montrer que log(I(f)) est convexe
Il s'agit ici de montrer (Med) que pour $\lambda$ $\in$ [0,1] et f et g deux fonctions continues et positives strictement alors:
I($\lambda$f+(1-$\lambda$ )g) $\leq$ $\lambda$ I(f) + (1-$\lambda$ )I(g)
Utiliser la majoration que tu propose avec la convexité de la fonction inverse donne une majoration trop large, qui ne permet pas d'obtenir le résultat dans le cas général. Par exemple, sauf erreur, si g est constante égale à 2 et f(x) = $\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}$, le majorant est trop grand.
Merci quand même.
Réponses
1) se servir de la convexité de la fonction x-->1/x dans la deuxième integrale
2) peut etre essayer de montrer que log(I(f)) est convexe
Je ne vois de sens à la question puisque I(f)=Cte>0.
(sauf incompréhension)
med
I($\lambda$f+(1-$\lambda$ )g) $\leq$ $\lambda$ I(f) + (1-$\lambda$ )I(g)
Puisque x-->1/x est convexe sur {x>0}, on a dans la deuxieme integrale :
$\int_{0}^{1} \frac{dt}{\lambda f +(1-\lambda)g}$ $\leq$
$\int_{0}^{1} (\lambda \frac{1}{f}+(1-\lambda)\frac{1}{g})dt$
en remarquant enfin que $I(\lambda f)=I(f)$ pour lamda positif ou a le résultat en combinant avec ce qui precède je pense.
Je ne sais pas si ça marche, c'est une idée comme ça.
Merci quand même.