fonction gamma

Je ne sais faire qu'avec de l'analyse complexe mais c'est pas immediat
Juste au passage ta formule s'appelle formule des complements

Je te donne un exo pour montrer ca :

Alors on a $\Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt$ pour $Re(z)>0$

1)a)On pose $I_n(z)=\int_{0}^{n} t^{z-1}(1-\frac{t}{n})^ndt$
Montrer que $\Gamma(z)=\lim_{n\to +\infty} I_n(z)$

b)montrer que $I_n(z)=n^zJ_n(z)$ avec $J_n(z)$ est une integrale a definir telle que $J_n(z)=\frac{n}{z} J_{n-1}(z+1)$ ($n \geq 1$)

En deduire que $\Gamma(z)=\lim_{n\to +\infty} \frac{n!n^z}{z(z+1)...(z+n)}$

2)a) Deduire de la formule precedente que $\frac{1}{\Gamma(z)}=z\prod_{k \geq 1}^{} (1+\frac{z}{k}) \exp(z\ln \frac{k}{k+1})$ pour $z \in \C$

b) montrer que pour $z \in \C$, $\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{z \gamma}\prod_{k \geq 1}^{} (1+\frac{z}{k}) e^{-\frac{z}{k}}$ avec $\gamma$ la constante d'Euler
Montrer la convergence normale sur tout compact du produit

c) prouver la formule des complements

bonjour

pour démontrer cette relation fonctionnelle le mieux est d'utiliser les produits infinis liés à sinus et à Gamma

sin(pi.x)/pi.x=(1-x²)(1-x²/2²)(1-x²/3²)........(1-x²/n²)........et

exp(-y.x)/Gamma(1+x) = [(1+x)/exp(x)][(1+x/2)/exp(x/2)].......[(1+x/n)/exp(x/n)].....

le premier produit infini trouvé par Euler est démontré à partir de la factorisation de 1+x^n en posant x=exp(it) et par passage à la limite lorsque n tend vers l'infini

le second produit infini (trouvé par Weierstrass) est lié à la définition de Gamma (y est la constante d'Euler)

il suffit de calculer le produit simple exp(-yx).exp(yx)/Gamma(1+x).Gamma(1-x) pour trouver la relation fonctionnelle cherchée

cordialement

romainko oui je connais ce théorème

merci pour la méthode, je vais essayer parce que bon, les produits eulériens c'est pas mon truc

Il y en a une ici (sous le nom de théorème d'Artin : qu'en est-il exactement ?):
\lien{http://www.rms-math.com/article.php3?id_article=834}

(Note que la continuité de $\Gamma$ est conséquence de la convexité de $\ln(\Gamma)$.)