Soit $f: (0, + \infty) \to (0, + \infty)$ twice derivable tell que
$f''(x)+f'(x) \geq f^2(x)$ pour tout $x>0$.
Prouver que $\lim_{+\infty}f(x)$ exister et calculer son.
Mathieu : ce que tu écrit à propos de $\lim f'$ m'a l'air faux (je suppose qu'il s'agit de limites en $+\infty$). La fonction $f(x)=\frac{1}{x} \sin e^x$ doit être un bon contre-exemple si je ne m'abuse...
A oui exact...
Ca me semble bizarre car je me souviens d' avoir démontré cette année un résultat analogue pour une fonction de classe $C^1$ mais impossible de mettre la main dessus.
mathieu,
ce qui est vrai, c'est que {\bf si} $\lim_{x\rightarrow +\infty}f^{\prime }(x)=\ell >0$ (éventuellement $\ell= +\infty $), {\bf alors} $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty $.
ce qui est clair (sous les conditions de l'énoncé initial), c'est que $f+f^{\prime}$ est croissante sur $]0;+\infty [$ donc, par le théorème de la limite monotone, cette fct admet une limite (éventuellement $+\infty $) quand $x$ tend vers $+\infty $.
..mais ça ne donne pas la conclusion attendue.
Par ailleurs, l'auteur du post serait gentil de nous fournir un exemple de fct $f$ vérifiant les conditions de son énoncé.
si $f'$ et $f"$ sont $> 0$ alors $f'$ est croissante en appliquons le theoreme des accroissements finis a $f$ sur un intervalle $[a,x]$ on montre que $\exists c\in ]a,x[ tq :f(x)-f(a)=f'(c)(x-a) ie f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)$
$f'$ etant croissante on a $f'(c) \geq f'(a)$ donc
$f(x) \geq f(a)+f'(a)(x-a)$ ce qui montre que
$lim_{x \longrightarrow + \infty}=+ \infty$
pour les autres cas .....
Réponses
ps : de rien
Et ici, comment prouve t' on que la limite de $f$ existe ?
Merci
Ca me semble bizarre car je me souviens d' avoir démontré cette année un résultat analogue pour une fonction de classe $C^1$ mais impossible de mettre la main dessus.
ce qui est vrai, c'est que {\bf si} $\lim_{x\rightarrow +\infty}f^{\prime }(x)=\ell >0$ (éventuellement $\ell= +\infty $), {\bf alors} $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty $.
mais aucun rapport
..mais ça ne donne pas la conclusion attendue.
Par ailleurs, l'auteur du post serait gentil de nous fournir un exemple de fct $f$ vérifiant les conditions de son énoncé.
$f'$ etant croissante on a $f'(c) \geq f'(a)$ donc
$f(x) \geq f(a)+f'(a)(x-a)$ ce qui montre que
$lim_{x \longrightarrow + \infty}=+ \infty$
pour les autres cas .....