Demande d'aide

Jules Renucci
Jules Renucci
dans Analyse
Bonjour

Qui serait assez aimable pour m'indiquer une primitive de la fonction :

$$\frac{a-b.x}{1-c.x^2}$$

merci par avance

Jules

Réponses

  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    il faut distinguer c < 0 et c > 0

    si c < 0 la fraction rationnelle se décompose en

    a/(1-cx²) + (b/2c).(-2cx/(1-cx²) dont la primitive est

    (a/rac(-c)).Arctan(x.rac(-c)) + (b/2c).ln(1-cx²)+k

    pour c > 0 il faut décomposer la fraction en

    [(a-bx)/2].[1/(1-xrac(c)) + 1/(1+x.rac(c)] et faire une division polynomiale

    cordialement
  • paulDH0
    paulDH0
    Bonjour,
    The integrator sur <http://integrals.wolfram.com/index.jsp >
    donne:
    (atanh^-1(c*x)^1/2)/c^1/2 + (b*log(c*x^2 -1))/2c
    Salutations
  • paulDH0
    paulDH0
    re-bonjour
    il faut lire:
    (a*tanh^-1(c*x)^1/2)/c^1/2 +
    ou
    1/(a*tanh(c^1/2)*c^1/2) +
  • paulDH0
    paulDH0
    re-rebonjour
    oubliez mon dernier message !!
    atanh^-1(c*x)^1/2 signifie
    arctangente hyperbolique de la racine carrée de (c*x)
    sorry
    salut
  • paulDH0
    paulDH0
    et même a*arctangente hyprebolique de ....
  • Jules Renucci
    Jules Renucci
    Merci à vous.
    C est ici positif

    Le site désigné par Paul DH donne le résultat :

    $$\frac{a*tanh^{-1}(x\sqrt{c})}{\sqrt{c}} +\frac{b*log(cx^2-1)}{2c}$$

    je suppose que $tanh^{-1}$ désigne l'inverse de la tangente hyperbolique
    ce résultat ne fait pas référence à un "arctangente"

    cordialement

    Jules
  • Jules Renucci
    Jules Renucci
    $tanh^{-1}$ désigne éffectivement $ Arctgh$

    Jules
  • med
    med
    Salut,
    C'est naturel comme le fait Jean:
    $$\frac{a-b.x}{1-c.x^2}=\frac{a}{1-c.x^2}-\frac{bx}{1-c.x^2}$$
    La première vous discuttez suivant c, la seconde vous la connaissez.
    les cas trivials sont ignorés.
  • Jules Renucci
    Jules Renucci
    Pour Jean Lismonde

    Bonjour et merci pour ton aide
    J'ai besoin de cette primitive car j'essaye de résoudre le problème d'artillerie posé recemment par Koniev.
    Je comprends bien le cas c<0

    Je me trouve dans le cas où c>0 et je ne vois pas ce que tu veux dire par division polynomiale.

    merci et cordialement
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    pour c > 0 après division polynomiale des deux dernières fractions rationnelles (numérateur du premier degré divisé par dénominateur du premier degré), on trouve comme fonction à primitiver:

    (b/rac(c))[1- (a/b - 1/rac(c))/(x-1/rac(c)) - (a/b + 1/rac(c))/(x+1/rac(c))]

    finalement la primitive est à une constante additive près

    b.x/rac(c) - (a/b)ln|x²-1/c²| + (1/rac(c)).ln[(x.rac(c)-1)/(x.rac(c)+1)] +k

    cordialement
  • Jules Renucci
    Jules Renucci
    Merci Jean

    J'avais finalement compris et trouvé le résultat suivant :

    $$\frac{1}{2c}(b-a\sqrt{c})log(\sqrt{c}-cx)+\frac{1}{2c}(b+a\sqrt{c})log(cx+\sqrt{c})$$

    Je vais voir si ce résultat est compatible avec celui que tu me donnes

    cordialement

    Jules
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