intégration

$\int_3^0 x^2 dx=-\int_0^3 x^2 dx=-9$....
une aire négative ?

bonjour clotho
avez-vous bien vu que l'inversion, par mathieu, des limites de votre intégrale définie, est accompagnée d'un changement de signe ?
salut.

Salut,
$$\int_{3}^{0}x^2dx=-\int_{0}^{3}x^2dx=\int_{0}^{3}-x^2dx$$
Inverser les bornes, c'est inverser la fonction.

Il suffit de définir l'intégrale de a à b avec a>b . C'est même au programme de TS. Si on poursuit le raisonnement de MR, il faudrait aussi se limiter aux fonctions positives.

Bonjour,

Au premier abord, on serait tenté d’adhérer ce qu’écrit "MR" :
" Dans les programmes actuels de terminale S, pour donner un sens à l'intégrale, on nous demande de l'introduire comme aire sous une courbe, ce qui n'est pas sans poser quelques problèmes et, de mon point de vue, apporte pas mal d'ambiguïtés. "
Mais au fond, je ne crois pas qu’il y aurait d’ambiguïté si l’intégrale était introduite comme cela était fait à l’origine, voici plus de trois siècles.
Bien avant Riemann, le calcul de l’aire d’une surface limitée par une courbe fermée avait conduit à considérer un processus limite en approchant l’aire considérée de plus en plus finement par des méthodes élémentaires. Déjà au XVIIième siècle, avec Kepler (1571-1630) et avec le principe de Cavalieri (1598-1647), on parlait de méthode exhaustive lors de décompositions en domaines élémentaires. C’était avant que Leibnitz et Newton ne construisent indépendamment et presque simultanément une méthode satisfaisante d’intégration pour le calcul des aires et des volumes. Néanmoins, on doit encore qualifier d’intuitive la méthode consistant à approcher l’aire (A) par des valeurs inférieures ou supérieures à l’aide de polygones en escalier (ce qui est rappelé dans la figure jointe).
Si la fonction f(x) possède certaines propriétés, l’approximation s’améliore lorsque la taille des pas diminue, de telle sorte que la somme des aires inscrites d’une part et circonscrites d’autre part, tendent vers une limite commune.
Que l’on calcule la somme les éléments d’aire de la gauche vers la droite, ou de la droite vers la gauche, ou même dans un ordre quelconque, il est patent que la somme, donc l’aire totale, reste la même.
Mais on voit que, si on somme de la droite vers la gauche (x allant en diminuant), dx est négatif, alors que (delta x) qui est une longueur, reste positif par définition. Donc le sigma reste positif alors que l’intégrale définie change de signe, puisque l’on a (–dx) au lieu de dx.
Il n’y a aucune ambiguïté et aucune aire négative dans cette présentation archaïque. Il y a DES AIRES (toujours positives) QUE L’ON AJOUTE, OU QUE L’ON SOUSTRAIT, selon les bornes des intégrales et selon le signe positif ou négatif de la fonction elle-même.
Une question bien plus profonde est récurrente :
Le dx qui apparaît a été interprété intuitivement comme un (delta x) infiniment petit et le signe somme est compris comme un sigma étendu à un infiniment grand nombre (n) de termes élémentaires, ce qui a été vu avec beaucoup de méfiance, pour ne pas dire de défiance et à juste titre. D’aucuns parlent de « méthode de physicien », non sans sous-entendu péjoratif !
D’après une information récente, un article portant sur ce sujet serait publié dans le prochain numéro (en juillet) du magazine QUADRATURE.

[Image remplacée conformément à te demande. AD]

je serais tenté pour ma part de le voir comme un changement de variable qui renverse l'orientation ; et alors dans la formule du changement de variable le "valeur absolue" du determinant jacobien devient "moin" le determinant jacobien d'où le changement de signe