Equivalence des normes
Bonjour
il y a un theoreme qui dit en gros "en dimension finie les normes sont equivalentes" mais il doit manquer des hypotheses
en effet si l'on considère $\Q[\sqrt{2}]$ munit de
$$N_{0}(a+b\sqrt{2})=|a+b\sqrt{2}|$$
$$N_{1}(a+b\sqrt{2})=max(|a|,|b|)$$
alors $N_{0}$ et $N_{1}$ sont des normes qui ne sont pas équivalentes
pourtant $\Q[\sqrt{2}]$ est un $\Q$-ev de dimension 2
il y a un theoreme qui dit en gros "en dimension finie les normes sont equivalentes" mais il doit manquer des hypotheses
en effet si l'on considère $\Q[\sqrt{2}]$ munit de
$$N_{0}(a+b\sqrt{2})=|a+b\sqrt{2}|$$
$$N_{1}(a+b\sqrt{2})=max(|a|,|b|)$$
alors $N_{0}$ et $N_{1}$ sont des normes qui ne sont pas équivalentes
pourtant $\Q[\sqrt{2}]$ est un $\Q$-ev de dimension 2
Réponses
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Bonjour
Pour des espaces vectoriels sur R ou C
On utilise le fait que les parties fermées bornées sont compactes
Cordialement -
J'ai une question : Définit-on la norme d'un e.v. qui n'est ni sur $\R$ ni sur $\C$ ?
J'en suis pas sûr du tout. -
La portée du théorème sur l'équivalence des normes est en fait plus générale ... tout isomorphisme de K-espaces vectoriels topologiques localement compacts est en fait un homéomoprhisme. Toutefois, on doit avoir K=R ou C.
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La portee du theoreme sur l'equivalence des normes est en fait plus generale ... tout isomorphisme de K-espaces vectoriels topologiques localement compacts est en fait un homeomoprhisme. Toutefois, on doit avoir K=R ou C.
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Donc ce théorème n'est valable que dans le cas K=R ou C
Mais dans la démonstration je ne vois pas très bien où cela intervient
Quelqu'un pourrrait-il m'éclairer ?
Peut-on trouver d'autres corps pour lesquels c'est valable ? -
Dans la preuve, on utilise un argument de compacité, or pour être compact, il faut être complet. C'est là qu'on utilise le fait qu'on est sur $\R$.
-
Je délire ou c'est vrai pour n'importe quel corps local complet?
Joaopa -
Pour démontrer l'équivalence des normes, en général on procède en utilisant la compacité de la boule unité pour la norme $||(x_1, \cdots, x_n) ||_{\infty} = max(|x_1|, \cdots, |x_n|)$ qui s'obtient très simplement avec le critère de Bolzano-Wieirstrass des espaces métriques après avoir montrer la compacité des boules unités de $\R$ ou $\C$.
Mais je renouvèlle ma question : Définit-on une norme sur des e.v. sur un autre corps que $\R$ ou $\C$ ? -
kilébo :
sur $\Q$ en tant qu'espace vectoriel sur $\Q$, tu prend la valeur absolue et ça définit une norme!
\begin{itemize}
\item{1}$|x|\geq 0$
\item{2}$|x|=0$ ssi $x=0$
\item{3}$|qx|=|q||x|$ pour tout $q\in\Q$
\item{4}$|x+y|\leq |x|+|y|$
\end{itemize}
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