Aire-Integrale

Christelle3 · May 2006

Voilà, je suis un peu embetée.
On me demande de calculer l'aire de la surface delimitée par un cercle de centre 0 et de rayon R et par la parabole d'equation :y=x*x. y est sur le disque et à la fois compris entre 0 et x*x.
JE vois comment faire avec un chgt de variable.
Seulement l'exercice est sencé etre fait au lycée...
Deuxiemement, on me demande d'enumerer les proprietés des "surfaces planes" qui m'ont permis de repondre à la question... Et cela ne me dit rien du tout!
Je suis un peu perdue en realité,c'est pr ca que je solicite votre aide.Merci.

med · May 2006

Votre domaine D (symétrie):
$$D=\{(x,y)/-a

Lebesgue0 · May 2006

En découpant la surface, cela doit faire :

$A = \int_{-a}^{a} (sqrt (R^2-x^2) - x^2) dx$

où $a\geq 0$ vérifie $a^2 + a^4 = R^2$

Lebesgue

Christelle3 · May 2006

Merci,c'est gentil.Mais en fait, y est dessous de la parabole...Enfin ce n'est pas grave pcq je ne vois tjs pas comment un eleve de Terminale peut resoudre cette integrale..

CQFD · May 2006

Le domaine ne serait il pas plutot : $D=\{(x;y);-a\le x\le a; 0\le y\le x^2\}\cup\{(x;y);a\le|x|\le R; 0\le y\le\sqrt{R^2-x^2}\}$ ?
J'ai cette impression puisque "y est sur le disque et à la fois compris entre 0 et x*x"

Christelle3 · May 2006

C'est tout à fait ca oui!

clotho...0 · May 2006

Bonsoir,

Dans un repére orthonormé, en traçant un cercle de centre O et de rayon R et une parabole d'équation $y=x^2$ (qui passe donc aussi par O), il est possible d'approximer l'aire cherchée en utilisant peut-être l'aire d'un triangle et l'aire d'une portion "capée" d'un cercle par une corde [AB].

Mais ce sera qu'une approximation.

Cordialement,

CQFD · May 2006

J'ai l'impression d'avoir bon pour le domaine.
Dans ce cas, l'aire cherchée est égale à : $2\int_{0}^{a}x^2 dx+2\int_{a}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx$.
Pour la seconde intégrale, j'avoue que le calcul est impossible avec les outils de terminale : un changement de variable me semble indispensable...

Christelle3 · May 2006

Oui,j'arrive bien à ca,mais apres je suis effectivement obligée de passer par un changement de variable...Jme demandais si j'avais "loupé" qqchose mais non visiblement...Merci à tous en tout cas!

CQFD · May 2006

L'approximation suggérée par clotho me semble bien délicate puisqu'on ne sait rien de R et donc qu'il n'est pas simple d'exprimer l'angle de l' "arc de cercle" ainsi défini...

Gecko · May 2006

Bonsoir.
Je pense qui faut bien decouper le domaine:
je sais calculer
1)Rouge + Vert + Bleu +Orange
2)Rouge + Bleu
3)les secteurs angulaires contenants Orange (on sait meme calculer orange en otant les bons triangles.)

Je pense que ca doit coller en utilisant "l'additivité" des aires disjointes. 4446

Christelle3 · May 2006

On sait calculer "orange"? C'est ce qu'il me pose probleme...

Gecko · May 2006

En fait c'est de la trigonometrie:
1)avec pythagore tu devrais savoir calculer l'air du tiangle vert
2)pour calculer Orange+Vert il faut connaitre l'angle du secteur angulaire formé par Orange +Vert (angle en radian)

pour ca il faut se rappeler que l'aire d'un secteur angulaire d'angle $\alpha$
(pour un disque de rayon R ) vaut $\frac{R^2\alpha}{2}$

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