integrale complexe
dans Analyse
Bonjour!
J'ai un exo où on utilise une integrale avec des complexes mais je
nage un peu dans la choucroute....
Soit f une fonction de classe C1 de $\R$ dans $\R$
On veut montrer que:
$lim n\rightarrow \infty \int_{a}^{b} f(t)cosnt dt=0$ et
$lim n\rightarrow \infty \int_{a}^{b} f(t)sinnt dt =0$
je prends donc cette integrale complexe:
$\int_{a}^{b} f(t)e^{int}dt= \frac{-i}{n} e^{int} + \int_{a}^{b}\frac{i}{n}
e^{int}f'(t)dt$ (je sais pas comment on met les bornes pour le
premier bloc integre...)
Maintenant il suffit de faire tendre n vers l'infini et de montrer que la
partie immaginaire et reelle sont nulles.
Mais je n'arrive pas à conclure pour la limite puisqu'il s'agit de
l'exponentiel complexe (et que je ne sais pas comment ca marche).
Est-ce que quelqu'un peut me dire pourquoi ca converge vers 0?
J'ai un exo où on utilise une integrale avec des complexes mais je
nage un peu dans la choucroute....
Soit f une fonction de classe C1 de $\R$ dans $\R$
On veut montrer que:
$lim n\rightarrow \infty \int_{a}^{b} f(t)cosnt dt=0$ et
$lim n\rightarrow \infty \int_{a}^{b} f(t)sinnt dt =0$
je prends donc cette integrale complexe:
$\int_{a}^{b} f(t)e^{int}dt= \frac{-i}{n} e^{int} + \int_{a}^{b}\frac{i}{n}
e^{int}f'(t)dt$ (je sais pas comment on met les bornes pour le
premier bloc integre...)
Maintenant il suffit de faire tendre n vers l'infini et de montrer que la
partie immaginaire et reelle sont nulles.
Mais je n'arrive pas à conclure pour la limite puisqu'il s'agit de
l'exponentiel complexe (et que je ne sais pas comment ca marche).
Est-ce que quelqu'un peut me dire pourquoi ca converge vers 0?
Réponses
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bonjour
on peut pédaler dans la choucroute mais c'est difficile d'y nager!
en fait pour déterminer la limite de exp(int)/n lorsque n tend vers l'infini il suffit d'encadrer la partie réelle puis la partie imaginaire
cos(nt) et sin(nt) sont encadrés par - 1 et + 1 et le théorème des gendarmes permet de conclure que la limite est nulle
pour l'intégrale de a à b de exp(nit).f'(t).dt/n il faudra de même majorer par plus l'intégrale de f'(t).dt/n et minorer par moins l'intégrale de f'(t).dt/n
cordialement -
C'est un résultat classique des séries de Fourier.
Puisqu'ici la fonction est C1, une simple intégration par partie donne le résultat immédiatement. Le résultat reste valable pour une fonction continue, auquel cas on peut procéder par densité.
Lebesgue -
En fait ce qu'il faut faire c'est prendre le module, par exemple si on a $u_n=\frac{e^{in}}{n}$ alors $u_n$ tends vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ car $|u_n|=\frac{1}{n}$ et je pense que tu sera d' accord que quand le module d' une suite tends vers $0$ alors la suite tends vers $0$
-
bonjour,
ta choucroute s'appelle lemme (ou théorème) de Riemann-Lebesgue.
peut-être peux-tu demander aux modérateurs de changer le titre?
merci -
bonjour,
ta choucroute s'appelle lemme (ou théorème) de Riemann-Lebesgue.
peut-être peux-tu demander aux modérateurs de changer le titre?
merci
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