équation différentielle

d'abord on résoud l'équa homogène : r²+1=0
d'où r(1)=i et r(2)=-i (i²=-1)
on résoud maintenant l'équation générale :
y"+y=cosx= (exp(ix)+exp(-ix))/2
on pose y=Q(X)exp(ix)
or i est solution de l'équation homogène donc Q(X) est un polynome de degrès 1
y=(bx+c)exp(ix)
y"=... on dérive 2 fois y par rapport à x
puis on remplace dans l'équa diff :y"+y=exp(ix)/2 pour trouver b et c et on trouve lla 1ère solution (1)
on pose une seconde fois
y=P(X)exp(-ix)
et -i est encore solution de l'equation homogène d'où deg(P)=1
et on étudie de même manière -> (2)

et enfin la solution c'est y=(Acos(x) + Bsin(-x))+ solution (1)+solution (2)

bien d'accord avec RAJ.
Ou bien on suit son conseil en restant sagement dans $\R$, ou bien, si on veut passer dans $\C$, on cherche une solution particulière de l'équation $y"+y=e^{ix}$ sous la forme a priori $P(x)e^{ix}$ avec $P$ fct polynomiale et une solution particulière réelle s'obtient en prenant simplement la partie réelle de ce qu'on vient de trouver. Pas besoin de faire le travail deux fois !!!

Cela fait partie des recettes classiques à connaître. Essayons de regarder de plus près l'équation:
y"+y=cos(x)
En posant z =Acos(x)+Bsin(x), on a:z"+z=0.
La fonction y=x*z, vérifie:
y"=2*z'+x*z"
Donc: y"+y=2z'+x*(z"+z)=2z'
Pour chercher une solution particulière de la forme y=x*z, il suffit de choisir A et B tels que 2z'=cos(x).