zéros isolés

La question exacte etait : soit f holomorphe dans le disque unite ouvert
Si f s'annule une infinite de fois dans ce disque peut-on conclure que f est identiquement nulle? Si oui le prouver sinon donner un contre-exemple

puis la meme question en supposant l'existence d'un a entre 0 et 1 tel que f s'annulait une infinite de fois dans le disque $D(0,1-a)$

Dans mon premier cas l'ensemble des zeros de ma fonction n'a pas de raison d'avoir de point d'accumulation donc on n'a pas de raison de pouvoir appliquer le principe des zeros isoles et le "contre-exemple" que je donne ne contredit pas le principe bien sur mais je voulais dire qu'il y a une fonction telle que les hypotheses de l'exo etait satisfaite mais pas la conclusion "etre nulle"

Dans le deuxieme cas l'ensemble des zeros de ma fonction a un point d'accumulation mais alors pourquoi?

Je vais tenter d'y repondre donc dites moi si je fais fausse route :
il existe un compact $K$ tel que $D(0,1-a) \subset K \subset D(0,1)$
Donc $f$ s'annule une infinite de fois sur $K$ compact
Comme $K$ compact la suite des zeros de $f$ admet une valeur d'adherence dans $K$
Donc $f$ s'annule sur un ensemble $A$ qui possede un point d'accumulation
Par le principe des zeros isoles f s'annule sur $D(0,1-a)$

Merci de me dire si je suis hors-sujet et derniere precision : je parle tout le temps de principe des zeros isoles mais parfois (en tout cas dans mon cours de cette annee) on parle du principe du prolongement analytique, j'ai toujours eu l'impression que c'etait la meme chose. Voila c'est juste une mise au point question vocabulaire