application linéaire discontinue

Candide0
Candide0
dans Analyse
Bonjour,

je n'arrive pas à trouver un exemple d'application linéaire non-continue.
$L_c(E,F)$ est un sev de $L(E,F)$ et je cherche à montrer qu'ils sont distincts...

Cordialement.

Réponses

  • ludo18
    ludo18
    pour cela il faut considerer des applications lineaires sur le Q ev R qui a une base algebrique de cardinal non denombrable.
  • okynox
    okynox
    Bonjour.
    Tout d'abord, il faut chercher cet exemple en dimension infinie : je vous propose $E=F=\R^{(\N)}$, l'espace vectoriel des suites de réels à support fini, muni de la norme infinie ($||x||=sup_{n \in \N}(|x_n|)$). Alors je considère l'application linéaire $u$, définie sur la base canonique $(e_n)_{n \in \N}$ par $u(e_n)=n.e_n$. $u$ est bien un endomorphisme de $E$, or on remarque que $sup_{||x|| \leq 1}(||u(x)||) = \infty$. Donc $u$ n'est pas continue.
  • Candide0
    Candide0
    L'exemple d'okynox est très clair.
    (J'avoue ne pas avoir compris celui de Ludo).

    Merci à vous deux.
  • Jabir
    Jabir
    Bonjour,
    <BR>
    <BR>"Tout d'abord, il faut chercher cet exemple en dimension infinie"
    <BR>
    <BR>Ce que sous-entend justement okynox ici , Candide , c'est que <B>en particulier</B> , toute application linéaire est continue en dimension finie.
    <BR>
    <BR>Cela ne répond pas à ta question , mais c'est juste pour mettre en exergue sa remarque pertinente.<BR><BR><BR>
  • romainm1
    romainm1
    Essaye avec l'application $P->P^\prime$ (dérivée de $P$) de $\R[X]$ dans lui-même.
  • Pilz
    Pilz
    L' exemple le plus simple que je connaisse:

    $E$ est l' ensemble des polynômes définis sur $[0,1]$ à valeurs dans $\R$, on munit cet espace vectoriel de $||.||_{\infty}$ alors l' opérateur de dérivation n'est pas continu car si $P_n=X^n$ alors $||P_n^{'}||_{\infty}=n||P_n||_{\infty}$ et ceci pour $n$ arbitrairement grand ce qui nie la continuité.
  • romainm1
    romainm1
    Evidemment ça dépend de la norme choisie. Je te laisse en trouver une qui répond à ta question.
  • Candide0
    Candide0
    Pour l'exemple de non-continuité, c'est OK.

    Mais j'ai une question complémentaire sur les limites d'application de 2 théorèmes.
    On sait que :
    - Théorème 1 : un evn réel de dimension dénombrable strict n'est jamais complet
    - Théorème 2 : un evn réel est de dimension finie ssi ses compacts sont exactement les fermés-bornés.

    En relisant les démonstrations, il me semble que ces 2 théorèmes sont aussi valables sur un C-evn.

    Ce n'est pas le cas ?
  • romainm1
    romainm1
    Oui tout-à-fait, c'est valables aussi pour les evn sur C.
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