Théorème de Riesz

C'est en ce qui concerne l'unicité (pour l'existence pas de problème). Il est dit que la mesure est définie sur les ensembles mesurables par des ouverts qui contiennent ces ensembles et aussi sur les ouverts de mesure finie grace aux compacts contenus dans ces ouverts, il en déduit alors le fait que la mesure est entièrement déterminée par ses valeurs sur les compacts, ce qui me semble faux, on ne peut pas en déduire que la mesure est entièrement déterminée par ses valeurs prisent sur les compacts mais plutot entièrement déterminée par ses valeurs prisent sur les compacts pour les ensembles de mesure fini uniquement.
Je pense avoir trouvé un contre-exemple qui n'est pas de moi dans un autre livre d'integration : Briane et Pagès, ou il n'y a pas unicité dans un espace séparé localement compact mais par contre unicité si l'espace est séparable et localement compact (voir theorie de la mesure et de l'integration. Briane et Pagès. Juste a la suite de l'énonciation du théorème de Riesz)

Qu'en pensez-vous ?

Me voici de retour. Voila le contre exemple :

On va prendre ($\R$,d) comme espace metrique avec d la distance ultramétrique : d(x,y) = 0 si x=y et 1 sinon.
Puisque c'est un espace métrique, il est séparé et on peut même voir facilement qu'avec la topologie induite par cette distance toute partie de $\R$ est à la fois ouverte et fermée donc que cette espace n'est pas séparable (en effet une partie dénombrable est fermée et n'est donc pas dense). De plus Cette espace est localement compact car les singletons sont à la fois ouverts et compacts. D'autre part la tribu des Boréliens est ici égal à P($\R$).

Pour A$\subset\R$, on pose :
$m_1$(A) = card(A$\cap\N$) et $m_2$(A) = $m_1$(A) + u(A\ $\N$)
ou u(B) = 0 si B est dénombrable $\infty$ sinon

Ce sont bien des mesures sur ($\R, P(\R)$)!
Les mesures $m_1$ et $m_2$ coincident sur les parties finies de $\R$ et les fonctions continues à support compact sur ($\R$, d) sont justement celles qui sont nulles partout sauf peut etre sur un nombre fini de points et
pout tout f continue a support compact, on a bien :

$\int_{-\infty}^{\infty} f$ d$m_1$ = $\int_{-\infty}^{\infty} f$ d$m_2$ = $\sum_{i=0}^{\infty}$ f(i)

mais pourtant $m_1(\R$ \ $\N$ ) = 0 $\neq$ $m_2(\R$ \ $\N$ ) = $\infty$

Qu'en pensez-vous ?

Un grand merci à Vincent, Hyacinthe et alekk pour avoir pri la peine de lire mes questions et répondre aussi vite. Merci.

Sans doute, je dois avouer que je ne connais pas la démonstration dans un espace topologique pur (<B>non metrise a priori</B>), qui serait séparé localement compact et sigma-compact (si tu as une reference a me donner ,merci). Parcontre pour un espace métrique j'en suis sur car dans un espace metrique localement compact, il y a même équivalence entre sigma-compacite et separabilite.
<BR>Mais il y a peut etre une piste dans le theoreme de metrisabilite d'Urysohn qui dit qu'un espace separe localement compact qui admet une base denombrable d'ouverts est metrisable...<BR>

Bien vu, merci Hyacinthe ! (Il est vraiment bien ce livre)