Suite périodique
Bonjour,
Voici un exercice que je n'arrive pas à faire:
Soit la suite (Un) défini par Uo=3 puis si n est pair Un+1 = 1-Un et si n est impair Un+1=(1/(1-Un)).
*Démontrer que cette suite est périodique.
**Exprimer U21, U31,U40, U63
Une aide me serait la bienvenue svp, je voudrais juste une indication pour commencer.
Merci d'avance.
Voici un exercice que je n'arrive pas à faire:
Soit la suite (Un) défini par Uo=3 puis si n est pair Un+1 = 1-Un et si n est impair Un+1=(1/(1-Un)).
*Démontrer que cette suite est périodique.
**Exprimer U21, U31,U40, U63
Une aide me serait la bienvenue svp, je voudrais juste une indication pour commencer.
Merci d'avance.
Réponses
-
Etudie les suites $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ , on montre facilement qu'elles sont périodiques.
Domi -
Etudier la suite:
U2n pour une fonction paire ?
et U2n+1 (Ou U2n-1) pour une fonction impaire ? -
Pour n pair , exprime $u_n$ en fontion de $u_{n-1}$ puis de $u_n-2}$ , etc ... Tu finiras par voir apparaître quelque chose . Ensuite , tu fais de même avec n impair .
Domi -
Alors, moi j'ai commencé par faire:
*Si n est pair on a:
n=2p (p est un nombre entier)
Donc on a:
U2p+1= 1-U2p
*Si n est impair on a:
n=2p-1
Donc on a:
U2p=1/(1-U2p-1)
Alors ensuite j'ai commencé à étudier la suite si n est pair:
U2p+1=1-U2p
U2p+2=U2p-2
Mais je reste coincé là, après j'arrive pas à étudier la suite si n est impair... -
Tu t'arrêtes trop tôt :
*Si n est pair on a:
n=2p (p est un nombre entier)
Donc on a:
U2p+1= 1-U2p = 1 - 1/(1-U2p-1) = ...
de même pour le cas impair .
En fait il est inutile d'alourdir les notations avec 2p et 2p+1 , reste avec n et continue les points de suspension ci-dessus jusqu'à obtenir ce que tu veux .
Domi -
Bonjour lili,
Une bonne chose est de calculer les premiers termes de la suite, toujours !
U0=3
U1=-2
U2=1/3
U3=2/3
U4=3 = U0
A partie de là on est convaincu et c'est un début de piste. Reste à démonter.
Soit par récurrence (celle qui nous a convaincu)
Soit trouver algébriquement pourquoi U4k+4=U4k, ...
Marc -
Pour le cas n pair :
$u_n = \frac{1}{1-u_{n-1}}$
$u_n = \frac{1}{u_{n-2}}$
$u_n = 1 - u_{n-3}$
$u_n = u_{n-4}$
tu devrais pouvoir de débrouiller de même avec n impair .
Domi -
J'ai trouvé U2p+1=U2p-1
or U2p+2=U2p-2
U2p+3=U2p-1
Donc elle est périodique de 3 ? -
Regarde les premières valeurs de la suite que Marc t'a donné et tu as la réponse à ta question .
Domi -
Bonjour
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}{\textrm{n pair : }}U_{2k + 1} = 1 - U_{2k} \\ {\textrm{n impair : }}U_{2k + 2} = \frac{1}{{1 - U_{2k + 1} }} \\ \end{array} \right. \Rightarrow U_{2k + 2} = \frac{1}{{1 - \left( {1 - U_{2k} } \right)}}}$
$\displaystyle{\Rightarrow U_{2k + 2} = U_{2k} ^{ - 1} \Rightarrow U_{2k} = 3^{\cos \left( {k\pi } \right)} \Rightarrow U_{2k + 1} = 1 - 3^{\cos \left( {k\pi } \right)} .}$
$\displaystyle{{\textrm{Finalement on a : }}U_n = \frac{{1 - \cos \left( {n\pi } \right)}}{2} + \cos \left( {n\pi } \right)3^{\cos \left( {E\left( {\frac{n}{2}} \right)\pi } \right)} }$
Cordialement Yalcin
Cordialement Yalcin -
Merci pour vos réponses mais je commence à plus rien comprendre là, avec les différentes méthodes...
Enfin, merci tout de même -
Un bon conseil , oublie le message de Yalcin qui adore manipuler les égalités et montre comme j'ai commencé à te l'expliquer que $u_{n+4} = u_n$ en considérant les cas n pair et n impair ( ce n'est pas très difficile ) .
Si $n$ est pair :
$u_{n+4} = \frac{1}{1-u_{n+3}} = ...$
Si $n$ est impair :
$u_{n+4} = ...$
Il faut simplement faire attention à ne pas se mélanger avec les indices .
Domi -
Ok je vais essayer de prendre votre méthode:
Pour n=pair
Un+4= U(n+1)+3=1/(1-Un+3) = 1/(1-U(n+1)+2) mais après je bloque...
Pour n=impair:
Par contre pour n=impair j'ai du mal à commencer, parce que je retombe sur la même formule que n=pair... -
Yalcin ,
tu as une suite qui prend successivement les valeurs :
3 ; -2 ; $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$ .
On peut bien sûr lui donner une forme explicite en fonction de $n$ , mais bon ...
D'autant que lili m'a l'air un peu perdue .
Domi -
Oui je le suis !
J'essai votre méthode (Domi) mais je bloque, j'arrive pas à avancer. -
Si les calculs te semblent trop compliqués , tu peux peut-être utiliser les premiers termes de la suite ( comme le faisait remarquer Marc ) . Tu sais que $u_4 = u_0$ alors $u_5 = \frac{1}{1-u_4} = \frac{1}{1-u_0} = u_1$ . Même chose pour $u_6$ , $u_7$ ... Il reste à mettre tout celà au propre , c'est ce que l'on appelle une démonstration par récurrence .
Domi -
Oui, mais par récurrence çà me gène un peu, je préfère les calculs, par contre je viens de trouver pour n= pair j'ai réussi à prouver, il me manque pour n=impair, je continue à chercher.
-
Voici ce que j'ai fais pour n=pair:
Un+4= Un+1+1+1+1
=1-Un+1+1+1
=1-(1-Un+1+1)
=1-(1-(1-Un+1))
=1-(1-(1-(1-Un)))
=1-(1-(1-1+Un))
=1-(1-Un)
=1-1+Un
=Un
alors la fonction est périodique de période 4.
Pour n= impair:
Un+4=Un+1+1+1+1
(1/(1-Un+1+1+1)
Mais après je continue le calcul mais je ne retombe pas sur Un... -
IL n'y a personne pour m'aider svp ?
-
Il me semble que tu n'as pas bien compris la définition de la suite $(u_n)$ .
Je reprends mon calcul pour le cas où $n$ est pair :
$u_{n+4} = \frac{1}{1-u_{n+3}$ car $n+3$ est impair .
Mais $u_{n+3} = 1-u_{n+2}$ car $n+2$ est pair .
On remplace dans la première égalité et on obtient :
$u_{n+4} = \frac{1}{u_{n+2}$ .
Or $u_{n+2} = \frac{1}{1-u_{n+1}$ car $n+1$ est impair .
On remplace à nouveau dans l'égalité précédente :
$u_{n+4} = 1-u_{n+1}$ .
$u_{n+1} = 1 - u_n$ car $n$ est pair .
Et en remplaçant une dernière fois :
$u_{n+4} = u_n$ et c'est fini .
Il te reste à faire le même travail avec $n$ impair .
Domi -
Ta solution pour n pair n'est pas bonne.
Tu fais comme si $U_{N+1}=1-U_N$ pour tout $N$, alors que c'est vrai seulement si $N$ est pair.
Si $n$ est pair, alors $n+1+1+1$ est {\it impair}, par contre $n+1+1$ est bien pair.
PS : je vois que domi a répondu bien mieux que moi pendant que j'écrivais ce message : jette un coup d'oeil à son code latex. -
Il me semble que tu n'as pas bien compris la définition de la suite $(u_n)$ .
Je reprends mon calcul pour le cas où $n$ est pair :
$u_{n+4} = \frac{1}{1-u_{n+3}}$ car $n+3$ est impair .
Mais $u_{n+3} = 1-u_{n+2}$ car $n+2$ est pair .
On remplace dans la première égalité et on obtient :
$u_{n+4} = \frac{1}{u_{n+2}}$ .
Or $u_{n+2} = \frac{1}{1-u_{n+1}}$ car $n+1$ est impair .
On remplace à nouveau dans l'égalité précédente :
$u_{n+4} = 1-u_{n+1}$ .
$u_{n+1} = 1 - u_n$ car $n$ est pair .
Et en remplaçant une dernière fois :
$u_{n+4} = u_n$ et c'est fini .
Il te reste à faire le même travail avec n impair .
Domi -
Donc si j'ai bien compris pour n est impair je commencerai ac l'autre formule ?
Un+4=1-Un+3 ? -
C'est celà même .
Domi -
Merci beaucoup, j'ai enfin réussi à résoudre cet exercice et j'ai compris !!
Par contre j'ai une question où on me demande de calculer U21...
Moi j'ai utilisé le système des divisions euclidinnes:
U21=4*5 +1=U1=-2
Je sais que çà marche, mais pour la rédaction, je fais comment ?
Je dis que j'utilise ce système car 4 est la période de la suite alors on a:
Up=(4*k)+n
U21=(4*5)+1=U1=-2 -
Oui ou plus exactement $u_{4k+n} = u_{n}$ donc :
$u_{21} = u_{4.5 + 1} = u_{1} = -2$ .
Domi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres