Limite ln

$x=e^{t}$

encadrement de la fonction ln(x)

ryo,
En partant de la définition de $\ln $ que tu viens de rappeler :

Pour la limite de $\ln$ en $+\infty $, on faisait comme ça en Terminale C quand j'y étais (c'était en 1976... : donc je vous parle d'un temps que les moins de 40 ans ne peuvent pas connaître...) :
pour $n$ entier, $\ln(2^n)=n\,\ln 2$ tend vers $+\infty $ quand $n$ tend vers $+\infty $ puisque $\ln 2>0$. Donc la fct $\ln $ n'est pas majorée. Comme elle est croissante, la conclusion résulte du théorème de la limite monotone.
Pour la limite en $0$, on utilise $\ln \frac{1}{x}=-\ln x$ et ce qui précède.

On pose pour x>0, $\log x=\int_1^x \frac{dt}{t}$.
Alors pour tout entier n,
\[ \log(2^{n+1})-\log(2^n)= \int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac{dt}{t} \geq (2^{n+1}-2^n) \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2} \]

En sommant les relations sur n, ceci donne
\[ \log(2^{n+1}) - \log (1) \geq \frac{n+1}{2} \]

Et on conclut.

Pour la limite en 0, il suffit de remarquer que $\log (1/x)=-\log x$ qu'on montre en faisant le changement de variable $u=1/x$.

bonsoir Guimauve,

je n'élude rien du tout.

En Terminale C, les logarithmes étaient introduits comme les fcts $f$ dérivables sur $]0;+\infty [$ vérifiant $f(xy)=f(x)+f(y)$ ("transformer" les produits en sommes) et on nous expliquait diverses raisons historiques et pratiques qui justifiaient -plus ou moins clairement- qu'on s'intéressât à ce type de propriété.

A partir de là, on voyait facilement qu'il existe un réel $k$ non nul tel que la dérivée d'une telle fct soit du type $\frac{k}{x}$, et donc que ces fcts logarithmes s'obtenaient à partir de celle pour laquelle $k=1$ par multiplication par une constante, ce qui conduisait à la définition
$$\ln x=\int_1^x\,\frac{1}{t}\,dt$$

Evidemment, si on balance cette primitive comme définition de $\ln$ sans aucun contexte, j'ai bien peur que :
1) les élèves n'y voient aucun intérêt.
2) les démonstrations des propriétés usuelles de $\ln $ en deviennent fort difficiles (et donc qu'on les supprime des programmes dans la foulée..)
Je parle d'expérience, puisque j'ai devant moi tous les jours des élèves bacheliers, qui sont surpris de découvrir la simplicité fondamentale des logarithmes plusieurs mois après qu'ils n'y aient rien compris...

Guimauve,
je crois que j'ai été incomplet, ce qui explique cette incompréhension.
J'essayais simplement d'expliquer que, jadis en Terminale C, si on posait comme définition
$$\ln x=\int_1^x\,\frac{1}{t}\,dt$$
c'est parce qu'on avait, {\bf au préalable}, établi que toute fct $f$ dérivable sur $]0;+\infty [$ vérifiant $f(xy)=f(x)+f(y)$ était (à une constante multiplicative près) une primitive de $1/x$.

Mais {\bf ensuite}, une fois posée la dite définition de $\ln $, on vérifiait effectivement que la fct $\ln $ répondait à la relation $f(xy=f(x)+f(y)$. Si j'ai bien compris, c'est le point que tu voulais voir éclairci.
...Donc, derechef, je confirme que je n'élude point... :
partons de la définition
$$\ln x=\int_1^x\,\frac{1}{t}\,dt$$
pour $a>0$, la dérivée de $\ln (ax)$ est $a\,\frac{1}{ax}=\frac{1}{x}$ (composition de fcts dérivables), donc les fcts $\ln x$et $\ln (ax)$, ayant même dérivée, diffèrent d'une constante, disons $C$, ie
$$\ln (ax)=\ln x +C$$
Cette égalité étant vraie en particulier pour $x=1$, nous obtenons $C=\ln a$ et par suite,
$$\ln (ax)=\ln x +\ln a$$
ce qui démontre l'assertion voulue, et tout ce qui s'en suit...