Fonction circulaire arcsin.
dans Analyse
Bonjour,
J'ai besoin d'un éclaircissement sur la question suivante. Lorsque j'étudie la fonction $x\longrightarrow Arcsinsin(x)$ sur l'intervalle $[0,2\pi]$, il me faut bien distinguer les quatres cas suivants :
$[0,\pi/2]$, $]\pi/2,\pi]$, $[-\pi,-\pi/2[$ et enfin $[-\pi/2,0[$ (qui me permet de retomber sur une partie de mon intervalle de définition de ma fonction)?
En fait, mon soucis se pose au niveau de la "clôture" de mes intervalles. Plus précisemment si je choisis $[-\pi,-\pi/2[$, puis-je prendre aussi $[-\pi,-\pi/2]$? C'est à dire prendre ou exclure indifférement la valeur $-\pi/2$?
Merci pour la précision,
Cordialement,
J'ai besoin d'un éclaircissement sur la question suivante. Lorsque j'étudie la fonction $x\longrightarrow Arcsinsin(x)$ sur l'intervalle $[0,2\pi]$, il me faut bien distinguer les quatres cas suivants :
$[0,\pi/2]$, $]\pi/2,\pi]$, $[-\pi,-\pi/2[$ et enfin $[-\pi/2,0[$ (qui me permet de retomber sur une partie de mon intervalle de définition de ma fonction)?
En fait, mon soucis se pose au niveau de la "clôture" de mes intervalles. Plus précisemment si je choisis $[-\pi,-\pi/2[$, puis-je prendre aussi $[-\pi,-\pi/2]$? C'est à dire prendre ou exclure indifférement la valeur $-\pi/2$?
Merci pour la précision,
Cordialement,
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Réponses
Bruno
$-\pi/2\leq arcsinsin(x)\leq\pi/2$? car $x\longrightarrowsinx$ est défini sur $[-\pi/2,\pi/2]$? D'où ma question si on étudie cette fonction sur le cercle trigo tout entier.
Cordialement,
Je dirais que sur $[0,\pi/2]$ alors $\arcsin\big(\sin(x)\big) = x$. Sur $[\pi/2,\3\pi/2]$ (ce sont les bornes que tu as choisies), $\arcsin\big(\sin(x)\big) = \pi - x$ et sur $[3\pi/2,2\pi], $\arcsin\big(\sin(x)\big) = x - 2\pi$.
Sauf erreur de calcul.
Bruno
Je dirais que sur $[0,\pi/2]$ alors $\arcsin\big(\sin(x)\big) = x$.
Sur $[\pi/2, 3\pi/2]$ (ce sont les bornes que tu as choisies), $\arcsin\big(\sin(x)\big) = \pi - x$
et sur $[3\pi/2,2\pi], \ \arcsin\big(\sin(x)\big) = x - 2\pi$.
Sauf erreur de calcul.
Bruno
J'étais parti en ville (on dit comme ça à la campagne.). Je viens de prendre connaissance de ta réponse et tu apportes de l'eau à mon moulin
Justement avec ton raisonnement et en choisissant de prendre $x=\pi/2$, on a d'une part $\arcsin\big(\sin(x)\big) = x$ et d'autre part $\arcsin\big(\sin(x)\big) = \pi - x$.
Autrement dit, deux valeurs différentes au même point. C'était tout le sens de ma question.
Cordialement,
Clotho.
Je remonte mon fil aujourd'hui, car je n'ai tjs pas de réponses claires à ma question posée dans mon sujet initial, avec mes intervalles d'études.
Merci pour vos précisions,
Cordialement,
Il faut utiliser la formule $\forall x\in\R, \sin(x)=\sin(\pi-x)$ (ou tout autre formule liée aux symétries ou à la périodicité de la courbe de la fonction $\sin$, pour se ramener au calcul d'un $Arcsin(\sin(y))$ avec $y\in [-\pi/2,\pi/2],$ .
Pour $x\in[\pi/2;\pi], \sin(x)=\sin(\pi-x)$ avec $y=\pi-x\in[0,\pi/2]$ d'où $Arcsin(\sin(x))=Arcsin(\sin(\pi-x))=Arcsin(\sin(y))=y=\pi-x$.
Et en $\pi/2$ les deux valeurs, issues des intervalles $[0,\pi/2]$ et $[\pi/2,\pi]$ coïncident, donc pas de souci.
Merci de m'avoir répondu dans le sens souhaité.
Cordialement,
Clotho.
d'une façon générale, il résulte de la définition que $\arcsin (\sin x)$ est l'unique réel $\theta \in [-\pi/2;\pi/2]$ tel que $\sin \theta =\sin x$.
Donc, comme l'a rappelé jp ci-dessus, il s'agit essentiellement d'utiliser la périodicité et les symétries de la fct sinus pour trouver le $\theta $ en question. Un petit dessin sur un cercle trigonométrique est en général très utile.
Pour des exemples et d'autres explications, tu peux te reporter à la feuille d'exos 3 (voir par exemple exos 3.8, 3.9, etc..) de mon cours de "compléments d'analyse" que tu as en ta possession.