Lagrange et inegalités

gin
gin
dans Analyse
bonjour,

soit $\Delta_k(t)$= f(t) - $L_f(t)$ - k(t-a0)(t-a1)(t-a2). ou $L_f$ polynome de Lagrange associée a f et à (a0,a1,a2) et f de classe $c^3$ sur [c,d].


je dois montrer que pour tout x de [c,d]:


$\mid$f(x)-$L_f(x)$$\mid$ $\leq$ $\mid$(x-a0)(x-a1)(x-a2) $\mid$ Sup$\mid$$f^{(3)}$$\mid$/3!

rq.: c'est Sup sur l'intervalle [c,d]



voila, je ne vois vraiment pas comment faire, merci d'avance.

Réponses

  • P.Fradin
    P.Fradin
    Si x=a0 ou a1 ou a2: rien à faire.
    Sinon: on pose $g(t)=f(t)-L_f(t)-k(t-a_0)(t-a_1)(t-a_2)$ où k est choisi de telle sorte que g(x)=0. Appliquer Rolle 3 fois...
  • gin
    gin
    je suis désolé, mais je ne comprends votre raisonnement, par contre j'ai réussit a démontrer que

    il existe b de [c,d] tq. $\Delta_k^{(3)}$(b)=0. Mais, je ne vois pas en quoi cela peut me servir pour démontrer mon inégalité.

    merci d'avance.
  • P.Fradin
    P.Fradin
    La fonction g s'annule en 4 points distincts, donc g' s'annule en 3 points distincts (application de Rolle), donc g'' s'annule 2 fois et g''' une fois en un réel c. Le calcul (évident) donne $f'''(c)=6k$ et donc
    $|k|\leq \frac{\mathrm{Sup}(|f^{(3)}|)}{3!}$, d'où le résultat (n'oubliez pas que $g(x)=0$).
  • gin
    gin
    c'est bon, j'ai compris merci beaucoup.
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