Lagrange et inegalités
bonjour,
soit $\Delta_k(t)$= f(t) - $L_f(t)$ - k(t-a0)(t-a1)(t-a2). ou $L_f$ polynome de Lagrange associée a f et à (a0,a1,a2) et f de classe $c^3$ sur [c,d].
je dois montrer que pour tout x de [c,d]:
$\mid$f(x)-$L_f(x)$$\mid$ $\leq$ $\mid$(x-a0)(x-a1)(x-a2) $\mid$ Sup$\mid$$f^{(3)}$$\mid$/3!
rq.: c'est Sup sur l'intervalle [c,d]
voila, je ne vois vraiment pas comment faire, merci d'avance.
soit $\Delta_k(t)$= f(t) - $L_f(t)$ - k(t-a0)(t-a1)(t-a2). ou $L_f$ polynome de Lagrange associée a f et à (a0,a1,a2) et f de classe $c^3$ sur [c,d].
je dois montrer que pour tout x de [c,d]:
$\mid$f(x)-$L_f(x)$$\mid$ $\leq$ $\mid$(x-a0)(x-a1)(x-a2) $\mid$ Sup$\mid$$f^{(3)}$$\mid$/3!
rq.: c'est Sup sur l'intervalle [c,d]
voila, je ne vois vraiment pas comment faire, merci d'avance.
Réponses
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Si x=a0 ou a1 ou a2: rien à faire.
Sinon: on pose $g(t)=f(t)-L_f(t)-k(t-a_0)(t-a_1)(t-a_2)$ où k est choisi de telle sorte que g(x)=0. Appliquer Rolle 3 fois... -
je suis désolé, mais je ne comprends votre raisonnement, par contre j'ai réussit a démontrer que
il existe b de [c,d] tq. $\Delta_k^{(3)}$(b)=0. Mais, je ne vois pas en quoi cela peut me servir pour démontrer mon inégalité.
merci d'avance. -
La fonction g s'annule en 4 points distincts, donc g' s'annule en 3 points distincts (application de Rolle), donc g'' s'annule 2 fois et g''' une fois en un réel c. Le calcul (évident) donne $f'''(c)=6k$ et donc
$|k|\leq \frac{\mathrm{Sup}(|f^{(3)}|)}{3!}$, d'où le résultat (n'oubliez pas que $g(x)=0$). -
c'est bon, j'ai compris merci beaucoup.
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