Oral 2 intéressant...
Bonjour à tous,
Je vous joins un sujet blanc d'oral 2 de Capes que je trouve interessant!
Interessant, car je "sens" certaines choses de manière intuitive mais j'ai du mal à les rédiger rigoureusement.
Dans l'exercice proposé au candidat,
Pour les questions 1 et 2, pas de problèmes.
Pour la question 3, je me pose quelques questions:
Dans mon livre de 1ère S, pour trouver l'équation de la tangente, j'ai l'énoncé suivant: "Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert contenant a et dérivable en a. La tangente à la courbe Cf au point A(a,f(a)) a pour équation: y=f'(a)(x-a)+f(a)"
Je me demandais donc si le fait que dans notre cas, le point 0 soit à une borne de l'intervalle posait problème?
J'ai donc trouvé comme tangente en 0 la droite d'équation y=0.
Ainsi finalement, il suffit de montrer que la fonction s'annule en une infinité de points. J'ai conclu en utilisant le résultat de la question 2 pour k pair, mais comment le rédiger de manière rigoureuse et surtout compréhensible pour des élèves de Term S?
Dans le travail demandé au candidat,
Q1- Savoirs et méthodes mis en jeu pas de problèmes. Pour l'objectif de l'exercice, j'ai l'impression qu'on veut déterminer les positions relatives de 2 courbes, mais certaines questions de l'exercice (notamment la dernière) me font douter sur ce point...
Q2- Je vois qu'on peut monter que Cf est comprise entre les courbes de x->x² et x->-x², mais après je ne sais pas comment faire pour déterminer l'allure de la courbe?
Q3- Certes je vois bien des graphes différents à chaque fois, mais je ne vois pas ce qu'on cherche à nous faire dire?
Voilà, si vous pouvez m'aider, ca serait bien sympa, et puis de toute façon, pour l'oral 2, j'ai l'impression que la meilleure manière d'y arriver, c'est de s'entrainer! Toutes vos remarques sont les bienvenues!
Bidou
Je vous joins un sujet blanc d'oral 2 de Capes que je trouve interessant!
Interessant, car je "sens" certaines choses de manière intuitive mais j'ai du mal à les rédiger rigoureusement.
Dans l'exercice proposé au candidat,
Pour les questions 1 et 2, pas de problèmes.
Pour la question 3, je me pose quelques questions:
Dans mon livre de 1ère S, pour trouver l'équation de la tangente, j'ai l'énoncé suivant: "Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert contenant a et dérivable en a. La tangente à la courbe Cf au point A(a,f(a)) a pour équation: y=f'(a)(x-a)+f(a)"
Je me demandais donc si le fait que dans notre cas, le point 0 soit à une borne de l'intervalle posait problème?
J'ai donc trouvé comme tangente en 0 la droite d'équation y=0.
Ainsi finalement, il suffit de montrer que la fonction s'annule en une infinité de points. J'ai conclu en utilisant le résultat de la question 2 pour k pair, mais comment le rédiger de manière rigoureuse et surtout compréhensible pour des élèves de Term S?
Dans le travail demandé au candidat,
Q1- Savoirs et méthodes mis en jeu pas de problèmes. Pour l'objectif de l'exercice, j'ai l'impression qu'on veut déterminer les positions relatives de 2 courbes, mais certaines questions de l'exercice (notamment la dernière) me font douter sur ce point...
Q2- Je vois qu'on peut monter que Cf est comprise entre les courbes de x->x² et x->-x², mais après je ne sais pas comment faire pour déterminer l'allure de la courbe?
Q3- Certes je vois bien des graphes différents à chaque fois, mais je ne vois pas ce qu'on cherche à nous faire dire?
Voilà, si vous pouvez m'aider, ca serait bien sympa, et puis de toute façon, pour l'oral 2, j'ai l'impression que la meilleure manière d'y arriver, c'est de s'entrainer! Toutes vos remarques sont les bienvenues!
Bidou
Réponses
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Pour l'exercice 1., on peut effectivement considéré la tangente à droite en un point. Cela ne pose pas de problème particulier.
Dans ce cas, c'est une borne de l'intervalle de définition, dans d'autre cas, tu pourras avoir une tangente à gauche qui diffère de la tangente à droite. Prendre, par ex, le cas simple de x -> |x|.
L'objectif, je pense, de l'exercice est de montrer que l'on peut très avoir une tangente qui est sécante avec la courbe même au 'voisinage' de la courbe. Ce qui, pour des élèves n'est pas forcément évident. Ayant l'habitude de voir des fonctions très régulières.
Je pense aussi qu'il faut voir cet exercice comme un exemple de fonctions qui n'est pas deux fois dérivable.
Et c'est à mon avis, la suite qu'on lui donner. -
Bonjour Bidou.
En ce qui concerne l'histoire de $0$ "borne de l'intervalle" il y a un problème. Il est clair que si tu travailles en $]0,x_0[$ le théorème que tu cites est {\bf inapplicable} pour la simple raison que ses hypothèses ne sont pas vérifiées. Livres toi à ce petit jeu devant le jury et il te tordra le cou !
Pour résoudre le problème du point de vue d'un élève de lycée, il me semble que la dérivée au point $x_0$ vérifie toujours :$$f'(x_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}h.$$ce qui te montre sans considérations sur "droite" et "gauche" que la fonction $f$ est {\bf dérivable} en $0$. Dans ces conditions le théorème que tu as cité s'applique de plein droit.
Bruno -
Merci à tous les deux pour vos précisions sur l'histoire de la tangente en zéro.
Pourriez vous m'aider à rédiger proprement la réponse à la question 3 s'il vous plait?
Et si vous avez des avis, des idées ou remarques sur Q2 et Q3...
Merci à tous pour votre participation!
Bidou -
Voici une proposition. Celle-ci tente d'être optimale dans l'utilisation des questions qui la précèdent.
Puisque la fonction $f$ est dérivable en $0$ de dérivée nulle, la courbe $C_f$ admet pour tangente à l'origine l'axe des abscisses (en fait, on attendrait d'un élève qu'il rappelle le théorème appliqué). La suite $u_n = \dfrac 2{n\pi}$ est décroissante et converge vers $0$, de plus la suite $v_n = f(u_n)$ est constante égale à $0$ (question 2); il s'ensuit que si $0 < a < 1$, il existe $n_0$ tel que $0 < u_{n_0} < a$ et donc la courbe coupe la tangente en tous les points $A_p(u_p,0)$ avec $p > n_0$; par conséquent, il y a une infinité de points d'intersection entre $C_f$ est la tangente en $0$ qui ont une abscisse strictement positive et majorée par $a$.
Bruno -
Bruno, merci de ta réponse, je n'osais pas utiliser les suites de cette façon, étant donné que cet exercice est censé s'adresser à des élèves de Lycée.
kilébo,
Tu proposes d'utiliser le fait que la fonction n'est pas deux fois dérivable come suite à donner à l'exercice. Mais ceci n'intervient pas pour donner l'allure de la courbe, je me trompe? D'ailleurs je ne sais pas quoi utiliser pour donner l'allure de la courbe... Comment justifier en fait que la fréquence de la sinusoide va diminuer quand x va augmenter?
Merci,
Bidou -
Je rappelle que je n'ai jamais enseigné dans le secondaire.
Par contre je plaide pour cette utilisation des suites, cela montre que ça peut servir à autre chose que de faire suer les élèves. Après, pour ceux qui n'ont pas compris, on détaille...
Bruno -
De taille mieux adaptée au forum
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Bruno, de quel parles-tu quand tu dis qu'il ne marche pas sur l'ensemble considéré ? Je ne te suis pas...
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Bonsoir kilebo.
Je présumes que tu parles de ma première intervention.
Bidou cite le théorème suivant :
Si $f$ est définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$ et si $f$ est dérivable en $a$, la tangente en $A\big(a,f(a)\big)$ a pour équation $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$.
Puis il demande s'il n'y a pas de problème à envisager ce qui se passe pour $a = 0$ {\it borne de l'intervalle} $I$.
Je réponds : non seulement cela pose un problème car l'un des objectifs d'un enseignant est de faire appliquer correctement un théorème mais à ce titre, le jury va le massacrer ; je suis formel sur ce point.
Si tu parles d'autre chose, alors c'est que je n'ai pas compris ta question.
Bruno -
Bonjour,
je fais remonter le post, car j'ai toujours du mal à répondre à la question Q2...
Je sais que la courbe risque d'osciller car il ya du sinus, je sais aussi qu'elle sera coincée entre les courbes de x->x² et x->-x² car les sinus est compris entre -1 et 1.
Simplement, ca ne suffit pas pour donner une allure de la courbe. Comment trouver d'autres informations sur la courbe???
En vous remerciant de votre participation!
Bidou -
Je n'ai pas approfondi, il y a certainement mieux à faire, mais on peut déjà faire montrer que la courbe $C_f$ est située dans une portion de plan limitée par deux paraboles et qu'aux points communs de $C_f$ avec l'une d'entre elles il y a contact.
Bruno -
Bruno,
Merci pour tes conseils et remarques toujours pertinentes...
Je me permets de te poser (encore) une question.
Tu me proposes de montrer que les points communs sont des points de contact...
J'ai du mal à voir comment faire... Est-ce que le fait de montrer que la dérivée est nulle en ces points suffit pour justifier qu'il y a contact?
Merci et encore désolé de poser tant de questions!
Bidou -
Justement, il faut montrer que les dérivées des deux fonctions sont égales aux points communs.
Ton intuition est fausse : si la dérivée de la fonction $f$ aux points tels que $sin\left(\dfrac 1 x\right) = 1$ était nulle, il n'y aurait pas contact car la dérivée de la fonction qui à $x$ associe $x^2$ n'est pas nulle en ces points :-))
Toutes réflexions faites, cela me paraît un prolongement judicieux de l'exercice.
Bruno -
Merci, merci, merci,
J'ai compris plein de choses grâce à vous! Je vais tenir compte de tous vos conseils pour répondre au mieux à toutes les questions posées!
Je pense qu'avec toutes ces informations réunies, on peut donner une allure assez proche de la vérité!
Je vous souhaite une bonne soirée!
Bidou -
De rien Bidou.
Bruno -
On peut également regarder ce qui se passe en l'infini et montrer que la droite d'équation y = x est asymptote oblique à la courbe en +inf (par les DLs ou via l'inégalité classique : t - (t^3)/6 <= sin(t) <= t par exemple).
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Bonjour!
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