points critiques fonction 2 variables

C'est ce que tu voulais?

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Déterminer les extremums locaux et globaux de:\\
Soit g:$\R^2\longrightarrow\R$ définie par $$g(x,y)=(x^2+y^2-8)(x^2+y^2)$$
J'ai procédé comme ceci:\\
$\frac{\partial g}{\partial x}= 2x(x^2+y^2)+2x(x^2+y^2-8)=0 $ et\\
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$\frac{\partial g}{\partial y} = 2y(x^2+y^2)+2y(x^2+y^2-8)=0 $\\
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$\Leftrightarrow$\\
$x(x^2+y^2+x^2+y^2-8)=0 \text{ et }y(x^2+y^2+x^2+y^2-8)=0$\\
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$\Leftrightarrow$\\
$x(x^2+y^2-4)=0$\\
$y(x^2+y^2-4)=0$\\
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$\Leftrightarrow$\\
$(x+y)(x^2+y^2-4)=0$\\
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$\Leftrightarrow$\\
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$x=-y$ ou\\
$x^2+y^2-4=0$\\
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mais après je bloque..... comment doit-on procéder pour touver tous les points critiques? une autre qustion les "équivalences" sont justes ou il faut plutot que ds implications?\\
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MERCI\\
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PS:si c'est moche...excusez moi....je connait pas trop Latex:(


Joaopa

Bonjour eulergauss.

J'ai lu, chez Euler, des arguments que l'on n'admet plus comme valides (au moins depuis Cauchy), mais Léonard n'aurait jamais écrit :
$$\left\{\begin{array}{rcl}x\,(x^2 + y^2 - 4) &= &0 \\ y\,(x^2 + y^2 - 4) &= &0\end{array}\right. \iff (x + y)\,(x^2 + y^2 - 4) = 0.$$
C'est faux, comme tu le notes ; la seconde équation est vérifiée si $y = -x$, alors que le système ne l'est pas.

Bref, tu arrives à la conclusion suivante : le cercle $\Gamma$ de centre l'origine et de rayon $2$ est un ensemble de points critiques, l'origine est un point critique. Tu dois pouvoir conclure à partir de là.

Bruno

Quand tu as une ligne de points critiques, il y a fort à parier que la fonction garde une valeur constante sur cette ligne. Je te suggère de considérer :$$g(t) = f\big(2\,\cos(t),2\,\sin(t)\big)$$et d'étudier son comportement.

Bruno