différentielle d'ordre 2
Salut,
j'aimerai m'assurai de la véracité de ce qui suit:
Soit f une fonction définie sur un ouvert U de $R^2$ , a valeurs dans R , deux fois différentiable en a $\in$ U , alors les dérivées partielles secondes de f de a, par rapport à x puis par rapport à y et les les dérivées partielles secondes de f de a, par rapport à y puis par rapport à x , existent et sont égales;
Merci
j'aimerai m'assurai de la véracité de ce qui suit:
Soit f une fonction définie sur un ouvert U de $R^2$ , a valeurs dans R , deux fois différentiable en a $\in$ U , alors les dérivées partielles secondes de f de a, par rapport à x puis par rapport à y et les les dérivées partielles secondes de f de a, par rapport à y puis par rapport à x , existent et sont égales;
Merci
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Réponses
Merci
La réponse est oui pour f deux fois différentiable
Par contre l'existence de DxDyf et DyDxf n'implique pas leur égalité,il faut une condition plus forte
que ces fonctions soient continues,au voisinage du point ou on les calculent, par exemple.
Cordialement
L'existance de ces deux dérivées partielles, à elle seule, n'entraine pas l'égalité entre elles; on peut trouver des contre-exemples pour ça!
Merci
D'après le th de Schwarz:
soit f une fonction ,admettant des dérivée partielles croisées,continues en(x0,y0) tq: d²f/dxdy et d²f/dydx continues en(x0,y0), alors:
d²f/dydx= d²f/dxdy
et pour répendre à : l'éxistence de d²f/dxdy et d²f/dydx n'implique pas leur égalité
6x+4z+5u-3t=1
5x-z+2u+t=3
7x+9z+8u-7t=-1
maintenant mon probleme est:
Dans le cours sur les extrémum j'ai deux résultats.
1- Proposition
Soit f une fonction d'un ouvert U de IR$^n$ dans IR deux fois différentiable en a appartenant à U, avec a point critique de f.
Soit Q la forme quadratique définie par Q(h) = D $^2$ f $_$a[h,h] alors
si Q est positive et non dégénérée alors f admet un minimum local strict en a
2- Corollaire
Soit f une fonction d'un ouvert U de IR$^2$ dans IR de de classe C$^2$ sur U et soit a un point critique de f.
si on note r = DxDx f (a)
s = DyDxf (a)
t = DyDy f(a)
d = s$^2$ - rt
Alors d0 implique f admet un minimum local strict en a
Le deuxieme résultat se déduit bien du premier,
Ce que je ne justifie pas c'est l'hypothese de f de classe C$^2$ sur U, pourquoi ne se contente pas de f deux fois diddérentiable en a ?
Merci
Pour Sara
Les trois équations sont dépendantes : le double de la première est égal à la somme des deux autres.
Mais quel est le rapport avec le sujet ?
Vous avez un systeme de trois équation à quatre incunnues, donc une infinité de solutions il suffit de considérer une variable comme un parametre et resoudre votre systeme par rapport aux autres variables.
Il faut regarder la démonstration de la formule de Taylor
Pour avoir un développement de f au second ordre avec reste "petit" devant |h|²2 il faut que f soit C² ou au moins f'' continue au point ou l'on fait le développement.
Cordialement
(j'ai pas pu me retenir, désolé)
Bon week-end.
Pour les fonctions d'une variable d'accord, la démonstration est classique
Pour les fonctions de plusieurs variables je n'ai jamais vu de démonstration qui donne un développement au deuxième ordre avec pour seule hypothèse f'' existe au point ou l'on développe.
Ceci dit, je ne prétends pas tout savoir;
Cordialement
Pour démontrer le th de Taylor-Young on applique à l'application K définie pour h appartenant à un voisinnage de 0 par
K(h) = f(a+h) - Tnf$_a$[h]
où Tnf$_a$[h], le polynome de taylor d'ordre n de f au point a
le lemme suivant:
"Lemme: Soit U un voisinage de 0 dans un evn E et soit g définie de U vers un evn F p fois différentiable en 0 et tel que
g(0) = 0
D$^i $ f $ _0 $ = 0 , pour tout i appartenant à 1,...,p.
alors g(h) = o (||h||$^p$
Effectivement,tu as raison,j'ai eu un trou de mémoire,on peut trouver une démonstration simple dans le livre de H .Cartan:Calcul Différentiel
Cordialement
Je reviend donc à ma question du 05-12-06 à 18:55
" f deux fois différentiable en a est suffisant comme hypothèse dans la
proposition que j'ai donnée, n'est-pas ?
Merci.