démonstration d'inégalité

lema · May 2006

bonjour a tous, j'ai besion d'aide pour demontrer l'inegalité suivante:

1/ $\forall$ a $\in$ $\R$ *+, $\forall$ n $\in$ N* , (n+1) $a^n$ < (b^n+1 - a^n+1) / (b-a) < (n+1) b^n

merci,

borde · May 2006

Je suppose que $b > a > 0$...Auquel cas, l'inégalité des accroissements finis devrait faire l'affaire.

{\it 2nde méthode} : utiliser l'idéentité : $$b^{n+1} - a^{n+1} = (b - a) (b^n + a b^{n-1} + a^2 b^{n-2} + ... + b^2 a^{n-2} + b a^{n-1} + a^n},$$ puis minorer (resp. majorer) $b$ par $a$ (resp. $a$ par $b$) dans le grand facteur.

Borde.

borde · May 2006

Je suppose que $b > a > 0$... (doublon à supprimer. Merci)

{\it 1ère méthode} : l'inégalité des accroissements finis.

{\it 2nde méthode} : utiliser l'identité : $$b^{n+1} - a^{n+1} = (b - a) (b^n + a b^{n-1} + a^2 b^{n-2} + ... + b^2 a^{n-2} + b a^{n-1} + a^n}),$$ puis minorer (resp. majorer) $b$ par $a$ (resp. $a$ par $b$) dans le grand facteur.

Borde.

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