Lemme d'Hadamard
Bonjour
Objet: leçon formules de Taylor
Rappel énoncé :
soit f: IR^n --->IR de classe C infini
on suppose f(0)=0; montrer que l'on peut écrire:
f(x1,x2,...,xn)=Sigma pour i=1 à n de xi.gi(x1,...,xn) avec gi: IR^n -->IR est C infini
solution (Ref: Gourdon); on utilise Taylor avec reste intégral
comment passe-t-on de:
f(x)=f(0)+ Somme de 0 à 1 de (Df(tx)(x))dt (c'est TRI à l'ordre 1) à:
f(x)=f(0)+ Somme de 0 à 1 de [ ( Sigma pour i=1 à n de xi.df/dxi(tx) )dt ]
ici f(0)=0. la suite je comprends.
merci, pour cet éclaircissement de calcul diff.
Objet: leçon formules de Taylor
Rappel énoncé :
soit f: IR^n --->IR de classe C infini
on suppose f(0)=0; montrer que l'on peut écrire:
f(x1,x2,...,xn)=Sigma pour i=1 à n de xi.gi(x1,...,xn) avec gi: IR^n -->IR est C infini
solution (Ref: Gourdon); on utilise Taylor avec reste intégral
comment passe-t-on de:
f(x)=f(0)+ Somme de 0 à 1 de (Df(tx)(x))dt (c'est TRI à l'ordre 1) à:
f(x)=f(0)+ Somme de 0 à 1 de [ ( Sigma pour i=1 à n de xi.df/dxi(tx) )dt ]
ici f(0)=0. la suite je comprends.
merci, pour cet éclaircissement de calcul diff.
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Réponses
tu veux calculer $f(X)$ en sachant que $f(0)=0$ et tes autres hypothèeses, donc tu peux poser $f(X)=h(1)=fow(1)$ où $w: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^n$ est la fonction $w(t)=tX$. Ainsi tu es ramené à utiliser la formule de Taylor de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, ou ici juste la définition de l'intégrale (mais tu peux généraliser à des puissances plus élevées après ..).
Ainsi: $h(1)=h(0)+\int_0^1 h'(t) dt=\int_0^1 h'(t) dt$.
Or $h'(t)=X_1D_{x_1}f(tX_1)+X_2D_{X_2}f(tX_2)+..+X_nD_{x_n}f(tX_n)$ donc $h(1)=f(X)=X_1g_1(X)+..+X_ng_n(X)$ où $g_i(X)=\int_0^1 D_{x_i}f(tX_i) dt \in C^{\infty}$.
a+
un gros merci sincère pour tes explications claires et détaillées.