Distributions

Salut bryce,


Tu as peut-être trouvé la réponse à ta question mais je tente ma chance. C'est une bonne question, à vrai dire je ne me l'étais jamais posée. A première vue je pensais que la réponse était non mais en l'absence de contre-exemple et en creusant un peu je me dis que c'est peut-être bien oui. Pour simplifier je me place sur $\R$.


Mettons-nous d'accord sur les définitions : je dis qu'une distribution $T \in \mathcal{D}'(\R)$ est d'ordre fini si et seulement s'il existe un entier $N$ tel que pour tout compact $K$ il existe une constante $C_K$ telle que pour toute fonction-test $\varphi$ à support dans $K$ on ait :
$$|| \leq C_K \sup_{\alpha \lek N} || \partial^{\alpha} \varphi ||_{\infty}$$
Le fait que l'ordre est fini vient de ce que $N$ est indépendant de $K$.


Une distribution $T \in \mathcal{D}'(\R)$ est tempérée si et seulement s'il existe un entier $N$ et une constante $C$ telles que pour toute fonction-test $\varphi$ on ait :
$$|| \leq C \sup_{\alpha, \beta \leq N} || x^{\beta} \partial^{\alpha} \varphi ||_{\infty}$$


Si $T$ est une distribution tempérée, avec les $N$ et $C$ associés, et que $K$ est un compact de $\R$, on a pour toute fonction-test $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ à support dans $K$ :
$$\sup_{\alpha, \beta \leq N} || x^{\beta} \partial^{\alpha} \varphi ||_{\infty} \leq \sup_{ \beta \leq N} || x^{\beta} ||_{\infty,K} \cdot \sup_{\alpha \leq N} || \partial^{\alpha} \varphi ||_{\infty}$$
En notant $\displaystyle M_K=\sup_{ \beta \leq N} || x^{\beta} ||_{\infty,K}$ (le $\sup$ sur $K$) on a donc bien :
$$|| \leq C M_K \sup_{\alpha \lek N} || \partial^{\alpha} \varphi ||_{\infty}$$
Où $N$ est indépendant de $K$ et la constante $C M_K$ ne dépend que de $K$. Donc $T$ est d'ordre fini, et même d'ordre inférieur ou égal à $N$.


Qu'en penses-tu ?