résidus
Soit l'intégrale de la fonction f(t)=dt/(a-bcos(t)) sur [0,2pi) on a I=2/i multiplié par intégrale dZ/(2aZ-bZ^2-b) sur le lacet y:t--->e^(it)=Z
Comment calculer ensuite cette intégrale aves le méthode des résidus??
Merci de votre attention (car j'ai vraiment du mal avec ces résidus :-( )
Comment calculer ensuite cette intégrale aves le méthode des résidus??
Merci de votre attention (car j'ai vraiment du mal avec ces résidus :-( )
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Réponses
$$\frac{1}{2aZ-bZ^2-b}$$
dans le disque unité. Ce sont des pôles.
Si $Z_1$ et $Z_2$ sont les racines du dénominateur, on a $Z_1\,Z_2=1$, donc il n'y a qu'un pôle dans le disque unité. On détermine le résidu en ce pôle.
On applique ensuite le thm des résidus en prenant comme compact à bord orienté le disque unité.
merci pour cette réponse cependant: Pourquoi Z1Z2=1 implique qu'il existe un seul pôle dans le disque unité?
Qu'ai-je loupé ??
On a $Z_1\,Z_2=1$ donc $|Z_1|\,|Z_2|=1$ d'où par exemple $|Z_1|1$ (où l'inverse).
Je suppose que l'on considère une intégrale ordinaire et que la fct $f$ est continue, donc le dénominateur $a-b\cos(t)$ ne doit pas s'annuler. On doit donc supposer $|a|>|b|$.
Bien sûr,il ne faut pas avoir de pôles sur le cercle unité,...