un équivalent

starjoe0
starjoe0
dans Analyse
Bonjour,

Il y a quelques années, je me suis retrouvé dans le même wagon que mon prof de taupe. il m'a posé un problème auquel il m'arrive encore de m'interroger:
Soit u(n) la suite définie par u(1)=1 et telle que pour k>=1, l'entier k apparait u(k) fois.
Ainsi:
u(1)=1, 1 apparait une fois, ce qui est fait donc on passe à 2
u(2)=2, 2 apparait 2 fois
u(3)=2, 3 apparait 2 fois, 2 est apparu 2 fois donc on passe à 3
u(4)=3, 4 apparait 3 fois
u(5)=3, 5 apparait 3 fois
u(6)=4, u(7)=4, u(8)=4, u(9)=5, u(10)=5, u(11)=5, u(12)=6, ...

Sa question était de déterminer un équivalent de cette suite en +infini.
Je trouve que ça sent bon le ln.

J'ai établi deux formules que j'envoie enpièce jointe.

Réponses

  • Question1
    Question1
    Cette suite est-elle uniquement décorative ? Ou alors a-t-elle aussi une autre raison d'être ?
  • cookie
    cookie
    je ne comprends pas bien ta suite, peux tu preciser un peu ( u(2) = 2 car 2 apparait deux fois ???)
  • B.....t
    B.....t
    Je connais la suite de Golmb qui lorsqu'on lit les termes consécutifs redonne la suite elle-même :
    1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,...
    Si on met entre parenthèses les termes consécutifs :
    (1),(2,2),(3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6,6),(7,7,7,7),...
    et qu'on compte combien il y a de termes entre parenthèse on obtient :
    1,2,2,3,3,4,4,4,... la suite de départ.
    Son n-ième terme est parfaitement déterminé !
  • Guimauve0
    Guimauve0
    \[ u_n \sim \phi^{2-\phi} n^{\phi - 1} \]
    Avec $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

    Je n'ai aucune idée de la façon dont on démontre ceci !

    Voir \lien{http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001462} pour quelques références, mais aucune démonstration. :(
  • B.....t
    B.....t
    On a la belle formule :

    $u(n)$ est le plus proche entier de $\Phi^{2-\Phi}n^{\Phi-1}$

    où $\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or

    Pour plus d'info:


    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001462
  • B.....t
    B.....t
    Il y a une référence qui permet de le démontrer (transformé en pdf joint).
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Bonjour!

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