Stone-Weierstrass

NC1 · May 2006

Bonjour,

je suis à la recherche du théorème de Stone-Weierstrass algébrique: toute algèbre séparant les points de fonctions de $K$ dans $\C$ est dense...

Je me rappelle que cela figure (entre autres...) dans le Choquet que je n'ai pas sous la main.

si quelqu'un avait un petit résumé de la preuve, cela me rendrait service...

merci, d'avance.

bosio frederic0 · May 2006

Pour $\Bbb C $, c'est faux car les fonctions holomorphes donnent un contre-exemple. Il faut soit etre a valeurs dans $\Bbb R $, soit etre stable par conjugaison me semble-t-il.

Euh... · May 2006

Et contenir les constantes, sinon X R[X] convient aussi, sauf erreur.

lassere0 · May 2006

oui, il faut la conjugaison dans le cas complexe, par exemple il n'est pas possible d'approcher la fonction $1/z$ uniformement sur le cercle unite par des polynomes en $z$, facile a verifier avec la formule de cauchy...

Guego0 · May 2006

Pour la preuve, on en a déjà discuté sur ce forum. Une petite recherche devrait être fructueuse.

alekk11 · May 2006

il y a une preuve dans le Rudin d'analyse fonctionnelle si je me rappelle bien, et dans le livre de Lax "functional analysis". C'est une preuve assez jolie, qui n'est pas la preuve classique avec la construction d'une suite de polynomes qui converge vers $t->|t|$ .

le poulpe · May 2006

pour le niveau...
la preuve est tout à fait du niveau L2 vu que je l'ai faite en sujet d'études en MP/
sinon il faut contenir les constantes et être stable par conjugaison sinon ça ne marche pas
cf ci-dessus