Espace complet

Je dis peut-être une bêtise, mais une suite de Cauchy dans l'espace image est-elle forcément l'image d'une suite de Cauchy ?

Thibaut

Bonsoir Candide,


"je ne comprends pas pourquoi l'image uniformément continue d'un espace complet n'est pas un espace complet."

Tu voulais sûrement dire :

"je ne comprends pas pourquoi l'image uniformément continue d'un espace complet n'est pas nécessairement un espace complet."

Car il suffit de prendre l'image uniformément continue d'un compact qui est donc compact: on alors l'image d'un complet qui est complet par une application uniformément continue

Bonsoir Candide

pour le 1
je pense que le cas suivant est un contre-exemple:
tu consideres f(x)=1/x, tu prends l'intervalle [1;+oo[ (il est complet c'est un fermé d'un complet) son image c'est [0;1[ qui n'est pas complet.

La reponse est simple :(je vais faire une démo propre mais voila l'idée)

si mon espace de départ est $E$, celui d'arrivé est $F$ et que je nomme f mon application(que je suppose etre une bijection continue telle que $f^{-1}$ soit uniformement continue), ce qui va me permettre de transporter mes propriétés sur $F$ n'est pas f mais $f^{-1}$ car ayant une suite de Cauchy dans $F$ ce qui te permets d'etudier sa convergence sachant que $E$ est complet c'est de revenir dans $E$ avec $f^{-1}$.
En clair, l'idée n'est pas de transporter les propriétes avec $f$ mais de deplacer le problème dans $E$ grace à de $f^{-1}$.

soit $(y_n)$ une suite de Cauchy de $F$, notons $(x_n)$ sont image reciproque par $f^{-1}$ qui est uniformement continue.
$(x_n)$ est alors de Cauchy dans $E$ donc convergente dans cette espace vers un certain $l$.
Or $f$ est continue sur E donc $f(x_n)=y_n$ converge vers $f(l) $
cqfd