Système Hamiltonien

roro3
roro3
dans Analyse
Bonjour

je prepare un memoire sur les "chaines de Darboux" et j'ai besoin d'aide car je m'y perd un peu

une chaine de Darboux se construit de la maniere suivante
on decompose un operateur de Schrodinger $L=-D^{2}+u(x,t)$ en
$$L=-(D+f_{i})(D-f_{i})$$

on transforme L en un autre operateur (j'abrège) et les fonctions $f_{i}$ sont reliée par la relation
$$(f_{i}+f_{i+1})'=f_{i}^{2}-f_{i+1}^{2}+\alpha_{i}$$
où $\alpha_{i}$ est une constante

la derniere relation definit alors une suite de fonctions que l'on appelle chaine de Darboux

on veut montrer que cette chaine est hamiltonienne et c'est là que les ennuis commencent

en effet dans le papier que je lis ils definissent un crochet de Poisson par
$$\{f_{i},f_{j}\}=(-1)^{j-i}(mod N)$$
si $i\neq j$ et $0$ sinon.

Je ne comprend pas bien pourquoi les "variables" sur lesquelles on definit notre crochet sont les fonctions de la chaine qu'on étudie

On me dit egalement plus loin qu'une chaine est un systeme dynamique et je n'y connait rien en systeme dynamique alors...

Enfin les chaines sont sensées représenter les symmetries discretes de l'equation de schrodinger et je ne comprend pas ce terme de symmetrie discrete (on sait que partant d'une solution connue de l'equation de schrodinger pour un certain potentiel on peut en deduire un solution pour un autre potentiel relié au premier par une transformation de Darboux ; je pense que l'idée est là mais de la à parler de symmetries je ne vois pas trop)

si quelqu'un peut essayer de m'eclairer un peu sur l'un de ces point...

merci d'avance

Réponses

  • Mauricio4
    Mauricio4
    C'est quoi comme article ?

    M.
  • roro3
    roro3
    Un article de Veselov & Shabat qui s'appelle "Dressing chains and the spectral theory of Schrödinger operator" paru dans le "Journal of Functional Analysis and Appl., 27, n.2, (1993)"
  • Mauricio4
    Mauricio4
    FAA ce n'est pas sur le web. Tu n'as pas quelque chose sur Arxiv ?
    Ce que tu écris est difficile à comprendre par exemple ton crochet n'est pas antisymétrique ({f,f} ne vaut pas zéro).
    Ca ressemble de loin à la théorie classique (équation KP, KdV etc.) mais je ne peux pas en dire plus a priori.
    M.
  • roro3
    roro3
    le crochet est bien symetrique car on a posée ${f_{i},f_{j}}=0 si i=j$ (c'est le "0 sinon" de mon premier post)

    en effet c'est bien une dérivée de la theorie classique ; le truc c'est que KdV est la theorie des "symmetries isospectrales" des operateurs de Schrodinger et donc toute cette theorie est independante de la theorie spectrale ; mais historiquement son etude decoulée de la theorie spectrale et le but de l'article est de decrire comment on peut s'en passer (et retrouver ce qu'on a trouvé auparavant notament tout ce qui concerne les operateurs fini-lacunaires ce qui m'interesse le plus)

    un article disponible sur arxiv parle un peu du meme genre de truc c'est
    "Spectrale curve, Darboux coordinates and Hamiltonian structure of periodic dressing chains" par Kanehisa Takasaki ; tout les resultats des japonnais qu'in evoque je m'en balance un peu mais dans l'ensemble ca ressemble bcp a ce que j'essaie de comprendre

    merci de ton interet
  • roro3
    roro3
    il faut lire antisymetrique bien sur... milles excuses
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Il faudrait que je vois l'article comme ca je ne peux pas dire grand chose.
    M.
  • roro3
    roro3
    Aux pages 2 et 3 de cet article on presente ce crochet de Poisson
    Si en même temps vous pouvez me rappeler ce qu'est la matrice de monodromie ainsi que les fonctions de Bloch ...
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Salut Roro,
    ca a l'air assez passionant.
    Donc ils disent c'est que par le procede de factorisation indique on cree une suite de fonction f_1,\dots,f_n,... periodique de longueur N.
    La remarque c'est que tu peux fixer une structure de Poisson sur R^{N} et un Hamiltonien H tel que \d/dx f_i(x)={ H,f_i}.
    Donc tu oublie que f_i depend de x, appelle le w_i si tu veux et la solution de l'equation de Hamilton ci-dessus est une fonction w_i(x) qui est egale a ta fonction f_i originale/.
    Le deuxieme fait qui n'est ni expliquer ni demontrer c'est que ce Hamiltonien H est integrable c.a.d. que tu peux lui trouver N/2-1 fonctions qui lui commute.
    Ca ressemble beaucoup a KdV: KdV est un systeme integrable de dimension infinie obtenue par quantification d'un systeme classique.
    L'autre affirmation non demontre c'est que ce systeme integrable s'ecrit comme un syteme de Lax. Les auteurs disent que la matrice de Lax est une matrice de monodromie mais il ne disent pas de quel fibre, il renvoie a l'article de Shabat et al.
    Par definition pour chaque f_i tu as une equation de Schroedinger qui s'envoie par un procede qui n'est pas explique (hep-th oblige!) sur un oscillateur harmonique (mais surement par un oif). Les fonctions propres de cet oscillateur harmonique sont appele vecteur propres de Bloch.

    Je n'ai rien compris avec la connection au cas supersymmetrique (sauf qu'il ya une lettre N et un oscillateur harmonique dans les deux cas), il faut que j'etudie tout ca. en tout cas ca vaut la peine de s'y attarder.

    Mauricio.
  • roro3
    roro3
    salut

    je poste la demonstration que j'ai de l'integrabilité de la chaine

    on definit une deuxieme structure Hamiltonienne
    on introduit tout d'abord les nouvelles variables
    $$g_{i}=f_{i}+f_{i+1}$$
    ainsi que
    $$\alpha_{i}=\beta_{i}-\beta_{i+1}$$
    où $\beta_{N+1}=\beta_{1}$

    le premier crochet de Poisson s'écrit alors $\{g_{i},g_{i-1} \}=1=-\{g_{i-1},g_{i} \}$
    et on considere le second crochet de Poisson donné par
    $\{g_{i},g_{j} \}=(-1)^{j-i (mod N)}g_{i}g_{j}$ si $j \neq i\pm 1$ et $\{g_{i},g_{i-1} \}=g_{i}g_{i-1}+\beta_{i}=-\{g_{i-1},g_{i} \}$

    Alors le systeme est bi-Hamiltonien
    Le Hamiltonien pour la deuxieme structure est donné par
    $$I_{0}=g_{1}+ \cdots +g_{N}$$
    (qui engendre de plus l'annulateur du premier crochet).

    On construit alors une suite de fonctions par le schema dit de Lenard-Magri
    $$\{g_{i},I_{k} \}_{1}=\{g_{i},i_{k-1} \}_{2}$$

    et ces fonctions donnent suffisemment d'integrales du systeme qui est donc completement integrable au sens de Liouville

    Le fait que N soit impair intervient au moment de retrouver les $f_{i}$ en fonction des $g_{i}$ ; si N est pair il y a une ambiguité et on a des contraintes supplementaires
  • roro3
    roro3
    je me permets encore une question ; je ne comprend pas très bien ce que sont les variables canoniques introduites en haut de la page 4 de l'article que j'ai posté plus haut..
    remarque : dans un autre papier la matrice de Lax ((2.13) dans cet article) s'ecrit avec en bas a gauche simplement $f_{i}^{2}+\beta_{i}+u$

    merci

    de plus si un moderateur pouvait changer le $i_{k-1}$ en un $I_{k-1}$ dans le post precedent ce serait plus coherent
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    $$\displaystyle \{g_{i},I_{k} \}_{1}=\{g_{i},I_{k-1} \}_{2}$$
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Roro, c'est un article de Physicien! (premiere chose a remarquer!)
    La phrase "the variables f_i are not canonical" signifie en langage mathematique: "ce ne sont pas des coordonneées de Darboux"
    C'est le mot canonique au sens de la mecanique classique.
    Les variables g_i sont obtenues par un changement lineaire de variable et sont des coordonnees de Darboux=coordonnees canoniques, ce qui veut dire
    que dans ces coordonnees {g_i,g_{i+1}}=1 et tous les autres crochets sont nuls. Si tu prefere le crochet de Poisson est associe a la 2-forme \sum_i dg_i \wedge dg_{i+1} ou au bivecteur correspondant.
    Pour un mathematicien cette remarque est vide, pour un physicien c'est different car ils veulent toujours des formules en coordonnees etc.

    Sinon pour la procedure initiale il faut dire dans quel categorie on se place, par exemple dans $\mathcal D$ la procedure indique me semble impossible et ensuite dans quel voisinage etc.. Toutes ces choses que les physiciens ne font jamais.
    M.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Roro, c'est un article de Physicien ! (première chose à remarquer !)
    La phrase "the variables $f_i$ are not canonical" signifie en langage mathématique : "ce ne sont pas des coordonnées de Darboux"
    C'est le mot canonique au sens de la mécanique classique.
    Les variables $g_i$ sont obtenues par un changement linéaire de variable et sont des coordonnées de Darboux=coordonnées canoniques, ce qui veut dire que dans ces coordonnées $\{g_i,g_{i+1}\}=1$ et tous les autres crochets sont nuls. Si tu préfère le crochet de Poisson est associe à la 2-forme $\sum_i \mathrm dg_i \wedge \mathrm dg_{i+1}$ ou au bivecteur correspondant.
    Pour un mathématicien cette remarque est vide, pour un physicien c'est différent car ils veulent toujours des formules en coordonnées etc.

    Sinon pour la procédure initiale il faut dire dans quel catégorie on se place, par exemple dans $\mathcal D$ la procédure indiquée me semble impossible et ensuite dans quel voisinage etc...
    Toutes ces choses que les physiciens ne font jamais.
    M.
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