Calcul numérique intégrale double
Bonjour,
Je souhaiterais calculer numériquement une intégrale double de la forme:
$$\int_{A_1} \int_{A_2} f(dA_1, dA_2) dA_1 dA_2$$
$f(dA_1, dA_2)$ scalaire
$A_1$ et $A_2$ étant deux surfaces
$dA_1$ et $dA_2$ respectivement deux petits éléments des surfaces $A_1$ et $A_2$.
Il s'agit donc d'une intégrale double de surface (vous me corrigez si ce n'est pas la bonne dénomination).
Pour l'approximation numérique, il vient tout naturellement:
$$\int_{A_1} \int_{A_2} f(dA_1, dA_2) dA_1 dA_2 = \sum_{i=1}^{N_1}\sum_{i=1}^{N_2}f(\Delta A_1, \Delta A_2) \Delta A_1 \Delta A_2$$
Les surfaces $A_1$ et $A_2$ étant découpées respectivement en $N_1$ et $N_2$ facettes d'aires $\Delta A_1$ et $\Delta A_2$.
Mais voilà, je souhaite appliquer une intégration numérique un peu plus "compliquée" (Rombergh par exemple ou Simpson), comment dois-je procéder ?
Je suis ouvert à toute idée. J'aimerais itérer vers la solution exacte et si possible être capable d'employer les points calculés précédemment (c'est pourquoi je partirais plus vers Rombergh et que j'écarte l'intégration Gaussienne).
Merci d'avance!
Cordialement,
Rodrigue
Je souhaiterais calculer numériquement une intégrale double de la forme:
$$\int_{A_1} \int_{A_2} f(dA_1, dA_2) dA_1 dA_2$$
$f(dA_1, dA_2)$ scalaire
$A_1$ et $A_2$ étant deux surfaces
$dA_1$ et $dA_2$ respectivement deux petits éléments des surfaces $A_1$ et $A_2$.
Il s'agit donc d'une intégrale double de surface (vous me corrigez si ce n'est pas la bonne dénomination).
Pour l'approximation numérique, il vient tout naturellement:
$$\int_{A_1} \int_{A_2} f(dA_1, dA_2) dA_1 dA_2 = \sum_{i=1}^{N_1}\sum_{i=1}^{N_2}f(\Delta A_1, \Delta A_2) \Delta A_1 \Delta A_2$$
Les surfaces $A_1$ et $A_2$ étant découpées respectivement en $N_1$ et $N_2$ facettes d'aires $\Delta A_1$ et $\Delta A_2$.
Mais voilà, je souhaite appliquer une intégration numérique un peu plus "compliquée" (Rombergh par exemple ou Simpson), comment dois-je procéder ?
Je suis ouvert à toute idée. J'aimerais itérer vers la solution exacte et si possible être capable d'employer les points calculés précédemment (c'est pourquoi je partirais plus vers Rombergh et que j'écarte l'intégration Gaussienne).
Merci d'avance!
Cordialement,
Rodrigue
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essaye de jetter un coup d'oeil sur ces fichiers je pense qu'ils seront utiles pour toi. Bonne courage!
cordialement
abdel
Merci pour le document! Malheusement, tu réalises des doubles intégrations sur une aire:
$$\int \int_{\Delta}$$
Or, je réalise des doubles- doubles intégrations sur des aires :
$$\int \int_{\Delta_A} \int \int_{\Delta_B}$$
c'est une quadruple intégrale. Néanmoins, ta méthode a l'air intéressante, je vais y regarder de plus près ... Si tu vois directement comment l'appliquer à mon problème, n'hésite pas à m'en faire part!
Merci!
Cordialement,
Rodrigue
Soit $\Delta A_1$ mon premier triangle (défini par trois points $v_{1/1}$, $v_{2/1}$ et $v_{3/1}$, un point $p_1$ du triangle peut être exprimé par
$$p_1 = \alpha_1 v_{1/1} + \beta_1 v_{2/1} + \gamma_1 v_{3/1}$$
de la même manière pour le deuxième triangle:
$$p_1 = \alpha_2 v_{1 /2}+ \beta_2 v_{2 /2}+ \gamma_2 v_{3/2}$$
avec $ \alpha_i = 1 - \beta_i - \gamma_i$, $i=1,2$.
Mon intégrale devient alors:
$$\int\int_{\Delta A_1}\int\int_{\Delta A_2} f(dA_1,dA_2) dA_1 dA_2 = \int_{\alpha_1=0}^{L_{\alpha_1}}\int_{\beta_1=0}^{L_{\beta_1}}\int_{\alpha_2=0}^{L_{\alpha_2}}\int_{\beta_2=0}^{L_{\beta_2}} f(\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2) d\alpha_1 d\beta_1 d\alpha_2 d\beta_2$$
avec $L_i$ les longueurs de côtés respectifs (que je ne visualise pas encore très bien:) !).
Ce que j'ai noté doit etre complètement faux! Si quelqu'un pouvait vérifier...
Merci d'avance!
Cordialement,
Rodrigue